Объединение двух отношений R₁ и R₂.

Объединение двух отношений обозначается R₁ER₂ и определяется выражением:

m_R1ER2(x, y) = m_R1(x, y)Um_R2(x, y).

Примеры:

Рис. 4.11. Отношения действительных чисел

1) На рис. 4.11 изображены отношения действительных чисел, содержательно означающие: xR₁y – «числа x и y очень близкие», xR₂y – «числа x и y очень различны» и их объединение xR₁ER₂y – «числа x и y очень близкие или очень различные».

2) Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|.

где a – такое |y-x|, что m_R1(x, y) = m_R2(x, y).

R1				R2			R1ÈR2
	y1	y2	y3	y1	y2	y3	y1	y2	y3
x1	0,1	0	0,8	0,7	0,9	1	0,7	0,9	1
x2	1	0,7	0	0,3	0,4	0,5	1	0,7	0,5

Пересечение двух отношений R₁ и R₂.

Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ÇR₂ и определяется выражением:

m_R1ÇR2(x, y) = m_R1(x, y) Ùm_R2(x, y).

Пример:

На рис. 4.12 изображены отношения: xR₁y, означающее "модуль разности |y-x| близок к a", xR₂y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.

Рис. 4.12. Отношения: xR₁y – "модуль разности |y-x| близок к a";

xR₂y – "модуль разности |y-x| близок к b"; их пересечение

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁×R₂ и определяется выражением

m_R1×R2(x, y) = m_R1(x, y)× m_R2(x, y).

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁R₂ и определяется выражением

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁Ç(R₂ÈR₃) = (R₁ÇR₂)È(R₁ÇR₃),

R₁È(R₂ÇR₃) = (R₁ÈR₂)Ç(R₁ÈR₃),

R₁×(R₂ÈR₃) = (R₁×R₂)È(R₁×R₃),

R₁×(R₂ÇR₃) = (R₁×R₂)Ç(R₁×R₃),

R₁(R₂ÈR₃) = (R₁R₂)È(R₁R₃),

R₁(R₂ÇR₃) = (R₁R₂)Ç(R₁R₃).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается  и определяется функцией принадлежности:

= 1 — m_R(x, y).

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ÅR₂ и определяется выражением

R₁ÅR₂ = (R₁Ç)È(ÇR₂).

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R – нечеткое отношение с функцией принадлежности m_R(x, y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением

По договоренности принимают = 0 при m_R(x, y) = 0,5.

Композиция двух нечетких отношений.

Пусть R₁ – нечеткое отношение R₁: (X´Y)®[0,1] между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение R₂: (Y´Z)® [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R₁ · R₂, определенное через R₁ и R₂ выражением

m_R1·R2 (x, z) = [m_R1 (x, y)Lm_R1(y, z)],

называется (max-min)-композицией отношений R₁ и R₂.

Примеры:

R1	y1	y2	y3
x1	0,1	0,7	0,4
x2	1	0,5	0

R2	z1	z2	z3	z4
y1	0,9	0	1	0,2
y2	0,3	0,6	0	0,9
y3	0,1	1	0	0,5

R1 · R2	z1	z2	z3	z4
x1	0,3	0,6	0,1	0,7
x2	0,9	0,5	1	0,5

m_R1·R2(x₁, z₁) = [m_R1(x₁, y₁) L m_R2 (y₁, z₁)] V [m_R1(x₁, y₂) L m_R2(y₂, z₁)] V

V [m_R1(x₁, y₃)Lm_R2(y₃, z₁)] =

= (0,1L0,9)V(0,7L0,3)V(0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3;

m_R1·R2 (x₁, z₂) = (0,1L0)V(0,7L0,6)V(0,4L 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6;

m_R1·R2(x₁, z₃) = 0,1;

…

m_R1·R2(x₂, z₄) = 0,5.

Замечание. В данном примере вначале использован "аналитический" способ композиции отношений R₁ и R₂ , т.е. i-я строка R₁ "умножается" на j-й столбец R₂ с использованием операции L, полученный результат "свертывается" с использованием операции V в m(x_i, z_j).

На рис. 4.13 приведены графы, соответствующие R₁ и R₂, "склеенные" по Y. В полученном графе рассматриваем пути от x_i к z_j и каждому ставим в соответствие мини

мальный из "весов" его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из x_i в z_j, который и дает искомое m(x_i, z_j).

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R₃·(R₂·R₁) = (R₃·R₂ )·R₁,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно пересечения:

R₃·(R₂È R₁) = (R₃·R₂)È (R₃·R₁),

R₃·(R₂Ç R₁)¹(R₃· R₂)Ç(R₃· R₁).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство: если R₁ÌR₂ то, R₃·R₁ Ì R₃·R₂.

(max-*) — композиция

В выражении m_R1·R2(x, z) =  [m_R1(x, y)Lm_R2(y, z)] для (max-min)-композиции отношений R₁ и R₂ операцию L можно заменить любой другой, для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

m_R1·R2(x, z) =  [m_R1(x, y)m_R1(y, z)].

Рис. 4.13. Графы, соответствующие R₁ и R₂, "склеенные" по Y

В частности, операция L может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max-prod)-композиции.