1) Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3 + 0,8/4 + 1/5 + 1/6 + 0,8/7 + 0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель = {3,4,5,6,7,8}, точки перехода – {3,8}.

2) Пусть E = {0,1,2,3,…,n,…}. Нечеткое множество "малый" можно определить:

3) Пусть E = {1,2,3,…,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

Нечеткое множество "Молодой" на универсальном множестве E’ ={Иванов, Петров, Сидоров,…} задается с помощью функции принадлежности  на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E’ функцией совместимости, при этом:

,

где x – возраст Сидорова.

4) Пусть E = {Запорожец, Жигули, Мерседес,….} – множество марок автомобилей, а E’ = [0,¥) – универсальное множество "стоимость", тогда на E’ мы можем определить нечеткие множества типа: "Для бедных", "Для среднего класса", "Престижные", с функциями принадлежности вида (рис. 4.1).

Рис. 4.1 Примеры функций принадлежности

Имея эти функции и зная стоимости автомобилей из E в данный момент времени, мы тем самым определим на E’ нечеткие множества с этими же названиями.

Так, например, нечеткое множество "Для бедных", заданное на универсальном множестве E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, … .}, выглядит так, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Пример задания нечеткого множества

Аналогично можно определить нечеткое множество "Скоростные", "Средние", "Тихоходные" и т.д.

О методах построения функций принадлежности нечетких множеств

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎE значение m _A(x), либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давление, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить шкалы, приведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Шкалы в задаче распознавания лиц

Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает m_A(x)Î [0,1], формируя векторную функцию принадлежности { m_A(x₁), m_A(x₂),… m_A(x₉)}.

При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или "этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_лысый

(данного лица). (В этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m_A(x_i) = w_i, i = 1,2, …, n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w_i/w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, a_ij = 1/a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А_w = l_maxw, где l_max – наибольшее собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.