1.1. Представление чисел в различных системах счисления

Для представления в цифровых устройствах чисел, а также другой информации в процессе программирования наряду с привычной для нас десятичной системой счисления широко используются другие системы. Рассмотрим наиболее употребительные позицион­ные системы счисления. Числа в таких системах счисления представляются последователь­ностью цифр (цифр разрядов):

a5 a4 a3 a2 a1 a0

Здесь a0, a1, . . . обозначают цифры нулевого, первого и других разрядов числа.

Цифре разряда приписан вес pk где р — основание системы счисления; k — номер разряда, равный индексу при обозначениях цифр разрядов. Так, приведенная выше запись означает следующее количество:

N = …+  a5×p5 +  a4×p4 +  a3×p3 +  a2×p2 +  a1×p1 +  a0×p0 + …

Для представления цифр разрядов используется набор из p различных символов. Так, при р = 10 (т. е. в обычной десятичной системе счисления) для записи цифр разрядов используется набор из десяти символов: 0, 1, 2 ….. 9. При этом запись 72932410 (здесь и далее индекс при числе указывает основание системы счисления, в которой представлено число) означает следующее количество:

.

Используя такой принцип представления чисел, но выбирая различные значения основания р, можно строить разнообразные системы счисления.

В двоичной системе счисления основание системы счисления р = 2. Таким образом, для записи цифр разрядов требуется набор всего лишь из двух символов, в качестве которых используются 0 и 1.



Следовательно, в двоичной системе счисления число представляется последовательностью символов 0 и 1. При этом запись 10111012 соответствует в десятичной системе счисления следующему числу:

.

В восьмеричной системе счисления основание системы счисления р = 8. Следовательно, для представления цифр разрядов должно использоваться восемь разных символов, в качестве которых выбраны 0, 1, 2,…,7 (заметим, что символы 8 и 9 здесь не используются и в записи чисел встречаться не должны). Например, записи 7354608 в десятичной системе счисления соответствует следующее число:

,

т. е. запись 7354608 означает число, содержащее семь раз по 85 = 32768, три раза по 84 = 4096, пять раз по 83 = 512, четыре раза по 82 = 64, шесть раз по 81 = 8 и ноль раз по 80 = 1.                                                                                                                                                                                  

В шестнадцатеричной системе счисления основание системы счисления р = 16 и для записи цифр разрядов должен использоваться набор из 16 символов: 0, 1,2…..9, А, В, С, D, Е, F. В нем используются 10 арабских цифр, и до требуемых шестнадцати их дополняют шестью начальными буквами латинского алфавита. При этом символу А в десятичной системе счисления соответствует 10, В – 11, С – 12, D – 13, Е – 14, F – 15.

Запись AB9C2F16 соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:

,

Для хранения n-разрядных чисел в цифровой аппаратуре можно использовать устройст­ва, содержащие n элементов, каждый из которых запоминает цифру соответствующего разряда числа. Наиболее просто осуществляется хранение чисел, представленных в двоичной системе счисления. Для запоминания цифры каждого разряда двоичного числа могут исполь­зоваться устройства с двумя устойчивыми состояниями (например, триггеры). Одному из этих устойчивых состояний ставится в соответствие цифра 0, другому – цифра 1.