Система m уравнений с n неизвестными х 1 , х 2 , … , х n вида:

(1.11)

называется системой линейных уравнений.

Если b 1 = b 2 = … = b m = 0, то система называется однородной , и неоднородной в противном случае.Набор чисел называется решением системы , если при подстановке этих чисел в уравнения системы (1.11) вместо неизвестных все уравнения обращаются в верные числовые равенства.Если существует хотя бы одно решение системы, то она называется совместной , и несовместной , если решений нет.Система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если решений более одного.Коэффициенты при неизвестных a ij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n ) образуют матрицу, которая называется матрицей системы .Две системы называются эквивалентными , если множества их решений совпадают. Преобразования, переводящие систему в эквивалентную ей, называются эквивалентными . Многие методы решения систем основываются на эквивалентных преобразованиях с целью получения систем более простого вида. Перечислим основные эквивалентные преобразования:а) перестановка двух уравнений в системе;б) умножение уравнения на число, не равное нулю;в) прибавление к уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число;г) перестановка слагаемых в левых частях уравнений.

При исследовании и решении систем линейных уравнений возникают следующие основные задачи :

· определить, совместна ли данная система; · в случае совместности системы определить число решений;· указать способ, с помощью которого можно найти все решения.Рассмотрим, прежде всего, частный случай системы (1.11), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, т.е. m = n . В этом случае матрица системы А является квадратной порядка n и ответ на все поставленные вопросы дает следующая теорема. Теорема 1.1 (Крамера) Если, то система совместна, имеет единственное решение, которое определяется равенствами

(1.12)

где — определитель матрицы, которая получается из матрицы системы заменой j -го столбца столбцом, составленным из свободных членов системы b 1 , b 2 , …, b n .

Доказательство. С помощью элементарных преобразований приведем систему к простейшему виду, для чего при каждом умножим i -е уравнение на А ij и сложим левые и правые части всех полученных уравнений

в результате получим систему уравнений, эквивалентную исходной, в которой j -е уравнение имеет вид:

или

По теореме аннулирования (формула (1.10))

а по формуле (1.9) (при k = j )

т.е. j -е уравнение в системе имеет вид откуда получаем решение:

Равенства (1.12) называются формулами Крамера .Например, для системы трех уравнений с тремя неизвестным можно записать: