Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом ) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой ).Пусть F — фокус, l — директриса параболы, р — расстояние от фокуса F до директрисы l (назовем р параметром параболы). Выведем уравнение параболы.Выберем ось 0 х так, чтобы она проходила через фокус F перпендикулярно l , а начало системы координат расположим в середине перпендикуляра, опущенного из F на l (рис. 3.25). Тогда фокус имеет координаты F (
, 0), а директриса описывается уравнением
.Пусть М ( х , у ) — произвольная точка параболы, тогда по определению параболы расстояние MN от М до l равно расстоянию MF от М до фокуса ( MN = MF ):
. После упрощения найдем:
(3.20)
- каноническое уравнение параболы.
По уравнению (3.20) исследуем свойства параболы и начертим ее. Из четности степени у в (3.20) следует, что парабола симметрична относительно оси 0 х . Парабола проходит через начало координат, так как х = 0 и у = 0 удовлетворяют уравнению (3.20). Далее, х 0 (так как р > 0), поэтому парабола лежит правее оси 0 у . В первой четверти парабола задана равенством
, откуда видим, что с возрастанием х возрастает и у . Используя симметричность параболы, изображаем её (рис. 3.26).Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0 у (рис. 3.27). Уравнение 
описывает параболу, симметричную относительно оси 0 у , лежащую выше оси 0 х при р > 0 и лежащую ниже оси 0 х при р < 0. Пример 3.10. Найти уравнение параболы, которая симметрична относительно оси 0 х , проходит через начало координат и точку М (1, — 4). Решение. Уравнение этой параболы имеет вид
, надо найти только параметр р . Координаты точки М (1, — 4) удовлетворяют этому уравнению, поэтому
, откуда
. Получаем 
— уравнение искомой параболы.Рассмотрим общее уравнение второго порядка:
.