Теорема 3.1 (необходимое условие интегрируемости функции). Если функция  интегрируема на  отрезке  то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство: Предположим обратное, т. е. допустим, что  не ограничена на . Покажем, что в этом случае интегральную сумму  можно за счет выбора точек сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка .

Действительно, так как  не ограничена на , то при любом разбиении отрезка  она обладает этим свойством хотя бы на одном частичном отрезке разбиения, например на . Выберем  на остальных частичных отрезках точки  произвольно и обозначим

.

Зададим произвольное число  и возьмем такое  на , чтобы

.

Это можно сделать в силу неограниченности функции  на. . Тогда

,

т. е. интегральная сумма  по абсолютной величине больше любого наперед заданного

числа. Поэтому интегральная сумма не имеет конечного предела при , а это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.■

Замечание. Обратная теорема неверна, т. е. условие ограниченности функциинеобходимое, но не достаточное условие интегрируемости функции. Поясним это утверждение примером. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке :

Функция Дирихле, очевидно, ограничена. Однако она не ин­тегрируема на . Покажем это. Если при любом раз6иении отрезка   выбрать рациональные точки , то получим

,

а если взять  иррациональными, то получим

.

Таким образом, при разбиении на сколь угодно малые частичные отрезки интегральная сумма может принимать как значение, равное 0, так и значение, равное 1. Поэтому  интегральная сумма  при  предела не имеет.■

Таким образом, для существования определенного интеграла от некоторой функции последняя помимо ограниченности, должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость. Для установления этих свойств необходимо ввести понятия нижних и верхних сумм.