Большое значение в математическом программировании и теории игр имеет понятие седловой точки.
Пара называется седловой точкой функции
на прямом произведении множеств
если
(3.9)
или эквивалентно
. (3.10)
Основными свойствами седловых точек являются взаимозаменяемость и эквивалентность. Если и
– седловые точки, то
и
– также седловые точки (взаимозаменяемость), при этом
(эквивалентность).
Доказательство этих фактов непосредственно вытекает из определения.
Из определения седловой точки следует, что в этой точке по однй группе переменных функция достигает максимума, а по другой – минимума. Если мы берем минимум функции по
, то получим функцию от
:
.
У этой функции можно брать максимум по , в результате получается величина (в предположении достижимости верхней и нижней граней):
.
Величина называется максимином функции
, а задача ее определения называется максиминной задачей.
Применение операций взятия максимума и минимума в обратной последовательности дает минимакс функции :
,
где .
Вообще говоря, существенным является достижимость только внешних граней в выражениях для и
, эти грани называются наружными. Точки реализации наружных граней называются решениями максиминной и минимаксной задач.