Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Рассмотрим систему двух уравнений:

. (3.14)

Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если коэффициенты при переменных x , у , z не пропорциональны, то эти плоскости пересекаются по некоторой прямой l . Координаты любой точки удовлетворяют системе (З.14) тогда и только тогда, когда точка лежит на прямой l . Поэтому уравнения (3.14) являются уравнениями прямой l и называются общими уравнениями прямой.Итак, прямая в пространстве задается двумя линейными уравнениями.

Выведем другие виды уравнений прямой в пространстве.Пусть задана точка М 1( х 1, у 1, z 1), лежащая на прямой l и ее направляющий вектор. Пусть M ( x , y , z ) произвольная точка прямой l , тогда векторы и коллинеарны и по формуле (2.6) получаем:

(3.15)

- канонические уравнения прямой l (уравнения прямой по точке и направляющему вектору ). Из канонических уравнений, введя параметр t (коэффициент пропорциональности), который может принимать любые действительные значения:

получаем параметрические уравнения прямой l

При изменении параметра t координаты точки М ( х , у , z ) изменяются и она перемещается по прямой l .

Заметим, что для прямой на плоскости можно вывести аналогичные параметрические уравнения:

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки (уравнения прямой по двум точкам ) М 1( х 1, у 1, z 1) и М 2( х 2, у 2, z 2), предлагается вывести самостоятельно, они имеет вид:

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим. Пусть прямая l задана уравнениями (3.14), т.е. является линией пересечения плоскостей и, которые имеют нормальные векторы:

= { A 1, B 1, C 1} и = { A 2, B 2, C 2}

(рис. 3.14). Запишем канонические уравнения прямой l . Для этого из системы (3.14) найдем одно решение ( х 1, у 1, z 1) — координаты точки М 1( х 1, у 1, z 1), лежащей на l (система (3.14) имеет бесконечное множество решений). Поскольку

,

поэтому вектор параллелен прямой l , следовательно, — направляющий вектор l . Координаты вектора

Подставив найденные числа в уравнения (3.15), получим канонические уравнения прямой l . Пример 3.6. Прямая l является пересечением плоскостей:

: 2 х — у + z — 4 = 0 и : х + у — 2 z — 1 = 0 .

Найти канонические уравнения прямой l . Решение. 1) Решим систему уравнений:

получим тройку чисел (- 1, 2, 0) — точку пересечения прямой l с координатой плоскостью 0 ху .

2) Найдем направляющий вектор прямой l :

Подставляя полученные данные в уравнения (3.15), находим:

канонические уравнения прямой l .