4.1. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Естественные науки / Алгебра и геометрия / 4.1. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дана система линейных уравнений

(4.1)

Доказать ее совместность и решить: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.Доказать совместность — это значит доказать, что данная система имеет хотя бы одно решение. При доказательстве совместности системы (4.1) может быть использована теорема (1.2) Кронекера-Капелли.В рассматриваемом случае

требуется доказать, что rang A = rang .

Для вычисления ранга матрицы может быть использован метод окаймляющих миноров. Минор Mk+1 порядка k + 1, содержащий в себе минор порядка k , называется окаймляющим минором Mk. Если у матрицы A существует минор, а все окаймляющие его миноры Mk+1=0, то r ( A ) = k .В случае если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных, для доказательства совместности можно воспользоваться теоремой (1.1) Крамера. 1) Применение метода Гаусса для решения систем трех линейных уравнений заключается в последовательном исключении неизвестных в уравнениях системы (4.1) с целью приведения ее к треугольному виду:

(4.2)

При этом допускаются следующие элементарные преобразования системы, приводящие к эквивалентным системам уравнений:а) перестановка уравнений в системе;б) умножение обеих частей уравнений на одно и то же число неравное нулю;в) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число;г) исключение уравнений вида 0 = 0.В полученной системе (4.2), из 3-го уравнения вычисляется x3 и его значение подставляется во 2-е уравнение, затем из 2-го уравнения вычисляется x2 и подставляется вместе с x3 в 1-е уравнение, после чего из 1-го уравнения вычисляется x1.2) Для решения систем линейных уравнений средствами матричного исчисления необходимо:

а) вычислить определитель матрицы данной системы и убедиться, что. Если, то матричный метод не применим;б) найти матрицу A-1, обратную к матрице A , по формуле:

,(4.3)

где Aij — алгебраические дополнения элементов aij матрицы A (в нашем случае i, j = 1, 2, 3). Напомним, что алгебраическое дополнение Aij равно определителю, полученному из элементов матрицы A после вычеркивания i -й строки и j -го столбца этой матрицы, умноженному на коэффициент, равный(-1)i+j;

в) найти решение системы по формуле: . Пример. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления. Решение. Докажем совместность. Запишем расширенную матрицу системы

и найдем ее ранг. Элемент матрицы, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, следовательно,. Среди миноров второго порядка, окаймляющих (включающих в себя) этот элемент, также есть отличные от нуля, например:

, т.е..

Из миноров третьего порядка, окаймляющих, возьмем минор:

Так как, то, а так как у матрицы миноров 4-го порядка не существует, то. Так как, то и. Таким образом, , и совместность доказана.1) Применим метод Гаусса к решению данной системы. Шаг 1. Умножим первое уравнение системы на 1/2 , чтобы коэффициент при x 1 стал равен единице. Шаг 2. Члены первого уравнения, во-первых, умножим на — 3 и прибавим к членам второго уравнения, во-вторых, умножим на — 5 и прибавим к членам третьего уравнения. В результате получим систему:

Шаг 3. К членам третьего уравнения прибавим члены второго уравнения. В результате, получим:

Таким образом, исходная система приведена к эквивалентной системе треугольного вида. Как известно, она имеет единственное решение. Решаем эту систему, начиная с последнего уравнения: