Основные законы движения электрона в однородном электростатическом поле могут быть получены из второго закона Ньютона, решение которого дает возможность найти скорость электрона

,                                                            (4.1)

где  (потенциал, действующий на электрон).

Подставляя реальные значения для е и m, имеем

.

Если электрон входит в однородное поле с начальной скоростью под углом  к вектору напряженности электрического поля, то уравнение движения электрона примет вид

,

где V₀ – потенциал, соответствующий начальной скорости.

Это уравнение параболы (рис. 4.2), параметры которой (максимальное значение у_m, смещение х_m  и наклон кривой α) находят из выражений:

,

,

.        (4.2)

Радиус траектории электрона при вхождении его в однородное магнитное поле под прямым углом получаем по формуле

,                                          (4.3)

где В_m – плотность магнитного потока.

Если же электрон входит в поле под углом , то уравнение принимает вид

.

При движении электрона по спирали ее шаг находится из выражения

.                                        (4.4)

В неоднородных электростатическом или электромагнитном полях или при их наложении траектории движения электронов описываются довольно сложными дифференциальными уравнениями, решение которых в общем случае затруднительно. В простом случае, когда оба поля параллельны, а электрон начинает движение с состояния покоя, магнитное поле не оказывает влияния на движение. Уравнения, выведенные для однородного поля, одинаково справедливы для большинства случаев.

Работу электростатических линз следует рассматривать по аналогии с оптическими. Таким образом, если на рис. 4.3 электрон после эмиссии имеет скорость и потенциал, равные нулю, и входит в область, характеризующуюся значением потенциала, равным V₁, то он будет двигаться по прямой линии со скоростью, описываемой уравнением (4.1). После пересечения поверхности, где потенциал изменяется со значения V₁ до V₂, скорость электрона изменится и может быть рассчитана по уравнению (4.1), где V₁ заменяется на V₂. Тангенциальная составляющая скорости V_t одинакова в обеих областях, нормальная же составляющая для электрона, входящего перпендикулярно вектору напряжения, изменится. Следовательно,

,    .

Тангенциальные составляющие скорости одинаковы в обеих областях

.

Уравнения становится еще более наглядным после подстановки выражения скорости из уравнения (4.1); тогда

,

,

т.е. эквивалентно показателю преломления.

Искажения — недостатки линз. К первому типу относится астигматизм, вызванный тем, что при изображении внеосевого объекта линии, направленные к оси, и линии, перпендикулярные им, фокусируются в разных плоскостях. Результирующий эффект и возможный компромисс для обеспечения оптимальной фокусировки проиллюстрированы на рис. 4.4. Вторым типом искажений является полевая дисторсия, известная как подушкообразная для положительных и бочкообразная для отрицательных ее значений.

Она возникает вследствие неодинакового увеличения для участков объекта, расположенных на разном удалении от оси. Увеличение масштаба характеризует подушкообразную дисторсию, а уменьшение – бочкообразную дисторсию. Обе разновидности дисторсии, а также исходный объект проиллюстрированы на рис. 4.5.