Пример 1. Проверить удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция z = f(x,y).
Решение. Находим частные производные первого и второго порядка:
Подставляем полученные значения производных в левую часть исходного уравнения:
.
В правой части уравнения имеем:
Сравнивая полученные результаты, видим, что данная функция удовлетворяет исходному уравнению.
Пример 2. Вычислить приближенно данные выражения, заменив приращения соответствующих функций их полными дифференциалами. Оценить в процентах возникающую при этом относительную погрешность вычислений.
а) 
б) 
Решение. а) Рассмотрим функцию 
Значение этой функции в точке 
известно и равно
Вычислим приближенно значение функции по формуле:
, 
,
, 
,
; 
.
Таким образом, имеем
Относительная погрешность вычислений:
б)
Рассмотрим функцию 
При 
и 
имеем 
, 
Находим полный дифференциал функции 
:
Тогда 
Относительная погрешность 
Пример 3. Задана функция z = f(x,y).
1. Исследовать функцию на экстремум.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D,ограниченной заданными линиями 
; D: 
.
Решение.
1). Запишем необходимые условия существования экстремума
Так как в данном случае 
и 
всегда существуют, то для нахождения стационарных точек получаем систему уравнений
, где 
, 
.
Решаем систему уравнений
, отсюда 
Таким образом, получим две стационарные точки 
и 
Находим:
, 
, 
Тогда 
В точке 
, т.е. в этой точке экстремума нет.
В точке 
и 
, следовательно, в этой точке функция достигает локального минимума 
.
2)
а) Изображаем область D: 
б) Находим критические (стационарные) точки (см. п.1) z = x2
, 
в) Находим значение функции в этих точках.
г) Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков ОА, АВ, ВС, ОС.
На прямой ОА, где x=0, имеем z=0
На прямой АВ, где у = 1, 
имеем 
и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [0;1].
Находим
, 
, 
, 
Получаем точку 
и z(1,1)=-1.
На прямой BC x=1,
получим
z=1+y3 – 3y;
z′y=3y2-3;
3x2=3
y1=1, y2=-1, 
.Получаем точку 
, совпадающую с точкой локального минимума 
.
На прямой ОС, где у = 0, получим 
, 
, 
, 
. Получим точку 
совпадающую с одной из критических точек. 
.
д) Таким образом, сравнивая все полученные значения, видим, что в замкнутой области D наибольшим значением является , а наименьшим
Пример 4. Дана функция z=f(x,y), точка А
, вектор 
.
Найти:
1) 
т. А
2) Производную по направлению вектора 
3) Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y)
, 
, 
;
Решение.
1) 
2) 
,
; 
; 
Получим: 
3) Уравнение касательной плоскости в т. 
имеет вид:
,
А уравнение нормали: 
, 
, 
, 
; откуда получаем 
– уравнение касательной плоскости.
–уравнение нормали.
Пример 5. Экспериментально получены пять значений искомой функции у = f(х) при пяти значениях аргумента, которые представлены в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию y =f(x) в виде у = ах + b.
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
y |
5 |
5,1 |
5,2 |
4,8 |
5,4 |
Решение. В случае линейной зависимости, т.е. если мы будем искать функцию вида 
, получаем нормальную систему метода наименьших квадратов:
Вычисляем:
, 
, 
, 
.
Система определения имеет вид:
Отсюда 
, 
Следовательно 
.
Пример 6. Вычислить неопределенные интегралы:
Решение. =
Так как 
, то интеграл принимает вид
сделаем замену 
вернемся к первоначальной переменной 
:
подынтегральная функция 
есть правильная дробь, разложим знаменатель на линейные множители, а затем дробь на простейшие
,
найдем 
методом неопределенных коэффициентов:
,
пусть 
, тогда 
, т.е. 
пусть 
, тогда 
, т.е. 
пусть 
, тогда 
, т.е. 
и интеграл принимает вид:
.
сделаем универсальную тригонометрическую подстановку
, так как 
, тогда подынтегральная функция принимает вид
,
а интеграл принимает вид
.
сделаем замену переменной 
, тогда 
, а чтобы найти 
найдем дифференциал от обеих частей равенства 
,
т.е. 
и интеграл принимает вид
.
Пример 7. Вычислить приближенное значение определенного интеграла
с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.
Решение. Разбив отрезок 
на 10 частей, вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения
,
вычисления удобно производить в таблице (табл. 4.1).
Таблица 4.1 Значения подынтегральной функции в точках разбиения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
5 |
2,236 |
0,447 |
|
1 |
0,1 |
0,01 |
0,03 |
5,03 |
2,243 |
0,446 |
|
2 |
0,2 |
0,04 |
0,12 |
5,12 |
2,263 |
0,442 |
|
3 |
0,3 |
0,09 |
0,27 |
5,27 |
2,296 |
0,436 |
|
4 |
0,4 |
0,16 |
0,48 |
5,48 |
2,341 |
0,427 |
|
5 |
0,5 |
0,25 |
0,75 |
5,75 |
2,398 |
0,417 |
|
6 |
0,6 |
0,36 |
1,08 |
6,08 |
2,466 |
0,406 |
|
7 |
0,7 |
0,49 |
1,47 |
6,47 |
2,544 |
0,393 |
|
8 |
0,8 |
0,64 |
1,92 |
6,92 |
2,631 |
0,380 |
|
9 |
0,9 |
0,81 |
2,43 |
7,43 |
2,726 |
0,367 |
|
10 |
1 |
1 |
3 |
8 |
2,828 |
0,354 |
Используя данные табл. 4.1, получаем
;
;
.
Подставив полученные значения в формулу Симпсона при 
, получим
.
Пример 8. Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция разрывна в точке
. По определению
.
По формуле Ньютона-Лейбница
,тогда 
.
Пример 9. Найти длину дуги кривой 
Решение. 
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением петли кривой 
вокруг оси
.
Рис. 4.2 Вращение петли кривой
Решение. Петля кривой соответствует значениям 
Введем параметр 
, полагая 
, и зададим кривую параметрически уравнениями 
. Дуга NPOMN (петля) кривой соответствует значениям
.
.