В научных исследованиях рассматриваются вопросы, связанные с математическим моделированием (а иногда и оптимизацией решений), в случаях, когда условия операции содержат неопределенность. Рассмотрим особый вид неопределенности, когда некоторые параметры, от которых зависит успех операции, не известны, и нет никаких данных, позволяющих судить о том, какие их значения более, а какие менее вероятны. Неопределенными могут быть как внешние, «объективные» условия операции, так и «субъективные», сознательные действия противников, соперников или других лиц.
Наиболее простыми из ситуаций, содержащих подобную неопределенность, являются конфликтные ситуации. Так называются ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие. Раздел теории исследования операций, занимающийся математическими моделями принятия оптимальных решений в условиях конфликта, называется теорией игр
Примеры конфликтных ситуаций многообразны. К ним, безусловно, принадлежит любая ситуация, складывающаяся в ходе боевых действий, ряд ситуаций в области экономики (особенно в условиях конкуренции). Столкновение противоречащих друг другу интересов наблюдается также в судопроизводстве, в спорте, видовой борьбе. В какой-то мере противоречивыми являются также взаимоотношения различных ступеней иерархии в сложных системах. В некотором смысле «конфликтной» можно считать и ситуацию с несколькими критериями: каждый из них предъявляет к управлению свои требования и, как правило, эти требования противоречивы.
Цель теории игр – выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.
Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и ее анализ затруднен наличием привходящих, несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строят его математическую модель. Такую модель называют игрой.
От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила указывают «права и обязанности» участников, а также исход игры – выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся
обстановки. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов – «играми» в буквальном смысле слова (шашками, шахматами, карточными играми и т.п.). Отсюда и название «теории игр», и ее терминология: конфликтующие стороны условно называются игроками, одно осуществление игры – партией, исход игры – выигрышем или проигрышем. Мы будем считать, что выигрыши (проигрыши) участников имеют количественное выражение (если это не так, то всегда можно им его приписать, например, в шахматах считать выигрыш за единицу, проигрыш – за минус единицу, ничью – за нуль).
В игре могут сталкиваться интересы двух или более участников; в первом случае игра называется парной, во втором – множественной. Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Одна из задач теории игр – выявление разумных коалиций во множественной игре и правил обмена информацией между участниками. Множественная игра с двумя постоянными коалициями, естественно, обращается в парную.
Развитие игры во времени можно представлять как ряд последовательных «ходов» участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример – любой ход в шахматах). При случайном ходе выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросанием монеты, игральной кости, выниманием карты из колоды и т.п.). Некоторые игры (так называемые «чисто азартные») состоят только из случайных ходов – ими теория игр не занимается. Ее цель – оптимизация поведения игрока в игре, где (может быть, наряду со случайными) есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Обычно, участвуя в игре, игрок не следует каким-либо жестким, «железным» правилам: выбор (решение) принимается им в ходе игры, когда он непосредственно наблюдает ситуацию. Однако теоретически дело не изменится, если предположить, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). Это будет значить, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а передать список правил незаинтересованному лицу (судье). Стратегия также может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы ЭВМ).
В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Бывают игры (например, шахматы), где в принципе число стратегий конечно, но так велико, что полный их перебор практически невозможен.
Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему наилучшее положение в данной игре, т.е. максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш.
Задача теории игр – выявление оптимальных стратегий игроков. Основное предположение, исходя из которого находятся оптимальные стратегии, состоит в том, что противник (в общем случае – противники), по меньшей мере, так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели. Расчет на разумного противника – лишь одна из возможных позиций в конфликте, но в теории игр именно она кладется в основу.
Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков равна нулю (т.е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай – парная игра с нулевой суммой – называется антагонистической (или игрой со строгим соперничеством). Теория антагонистических игр – наиболее развитый раздел теории игр, с четкими рекомендациями. Далее мы познакомимся с некоторыми ее понятиями и приемами.