1°. Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов, т.е.

(2.2)

2°. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, т.е.

(2.3)

ДоказательствоСвойство 1о Доказательство проведем для двух векторов (для большего числа аналогично). Пусть

т.е., тогда (рис. 2.5), но по определению проекции вектора и произведения вектора на число, получаем:

где — единичный, направляющий вектор оси 0 u .

Следовательно,

откуда.

Свойство 2° Если (рис. 2.6,а), то по формуле (2.1) получаем:

Если, то по формуле (2.1), используя формулу приведения, получаем (рис. 2.6,б):

Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно перпендикулярных, пересекающихся в точке 0 оси 0 х , 0 у , 0 z. Пусть — единичные направляющие векторы этих осей и — произвольный вектор. Покажем, что векторы образуют базис. Отложим вектор от начала координат, пусть М — конец вектора, т.е. (рис. 2.7). Обозначим — проекции вектора на оси координат, — проекции точки М на оси координат, М0- проекцию точки М на плоскость 0xy. Тогда, по определению произведения вектора на число, получаем (рис. 2.7):

.

По определению сложения и равенства векторов

следовательно:

Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Таким образом, координатная запись вектора имеет вид:

. (2.4)

Откуда следует, что — базис.Довольно часто вектор задается перечислением его координат, т.е. запись имеет вид:или (первая запись является более строгой, но чаще используется вторая).Пусть, проекция точки А на ось 0 u имеет координату , а проекция точки В — координату u2, тогда по определению проекции вектора на ось

Следовательно, если

то

Из доказанных в разд. 2.2 свойств проекций вектора на ось получаем правила сложения и умножения вектора на число в координатной форме:

По теореме Пифагора находим длину вектора (рис. 2.7):

(2.5)

Из определения произведения вектора на число следует, что если ненулевые коллинеарные векторы, то такое, что или

.

Отсюда получаем условие коллинеарности векторов, заданных своими координатам:

. (2.6)

Пусть — углы, которые вектор составляет с осями координат (рис. 2.8), тогда по формуле (2.1)

Возведя в квадрат эти равенства и сложив их, получим:

.

Кроме того, , т.е.

,

где — направляющие косинусы вектора. Координаты единичного вектора равны направляющим косинусам.