Пусть даны две прямые l 1 и l 2 на плоскости:

.

Чтобы определить их взаимное расположение, достаточно решить систему уравнений:

(3.8)

Если эта система имеет единственное решение ( х 0, у 0), то прямые l 1 и l 2, пересекается в точке М 0( х 0, у 0). Если система (3.8) не имеет решений, то прямые l 1 и l 2 не пересекаются, следовательно, l 1 || l 2. Если система (3.8) имеет бесконечное множество решений, то l 1 и l 2 совпадают.Однако решить вопрос о взаимном расположении l 1 и l 2 можно и не решая системы (3.3). Действительно, из общего уравнения прямой l 1, находим, что ее нормальный вектор имеет координаты А 1 и В 1 , т.е. = { А 1, В 1}, а прямая l 2 имеет нормальный вектор = { А 2, В 2}. Если векторы, коллинеарны, то прямые l 1 и l 2 либо параллельны, либо совпадают. Если, неколлинеарны, то прямые пересекаются. Зная, что коллинеарные векторы (и только они) имеют пропорциональные координаты, получаем: если, то прямые l 1 и l 2 пересекаются; если ,то прямые l 1 и l 2 параллельны; если ,то прямые l 1 и l 2 совпадают.

Используя нормальные векторы, можно также найти угол между прямыми, так как угол между нормальными векторами равен одному из углов между прямыми l 1 и l 2 (рис. 3.9).

Из определения скалярного произведения векторов получаем:, поэтому.Пусть на плоскости заданы прямая и точка М 0( х 0, у 0). Найдем расстояние d от точки М 0( х 0, у 0) до прямой l (рис. 3.10). Пусть М 1( х 1, у 1) — точка пересечения прямой l и прямой, проходящей через точку М 0 перпендикулярно l . Так как М 1 лежит на l , то ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой, таким образом, имеем тождество:

. (3.9)

Рассмотрим вектор. Этот вектор коллинеарен нормальному вектору = { А 1, В 1} прямой l и, поэтому косинус угла между векторами и равен либо 1, либо -1. Следовательно, , откуда

.

Учитывая тождество (3.9) получаем:

. (3.10)

Пример 3.3. Найти расстояние от точки пересечения прямых l l и l 2 до прямой l 3. Определить взаимное расположение пар прямых l 1, l 3 и l 2, l 3, если прямые заданы общими уравнениями:

Решение. Решим систему уравнений:

Получим: х 0 = 1, у 0 = 2 — единственное решение. Следовательно, прямые l 1 и l 2 пересекается в точке М 0(1, 2). Используя формулу (3.10), найдем расстояние d от М 0 до l 3:

Нормальные векторы прямых l 1, l 2 и l 3 соответственно будут = {3, — 2}, = {1, 1}, = {- 6, 4}. Так как координаты и пропорциональны 3/( — 6) = — 2/3 и — 2/4 1/( — 3), то l 1 || l 3. Для и имеем: 1/(- 6)1/4, следовательно, l 2 и l 3 пересекаются.