Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат: 0 — начало координат,
— единичные направляющие векторы осей координат, соответственно 0 х , 0 у и 0 z . Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость
. Выведем уравнение этой плоскости, т.е. уравнение, содержащее переменные х , у , z , которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости.и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой плоскости.Пусть задана точка М 1( х 1, у 1, z 1)
. и вектор 
. = { А , В , C } перпендикулярный плоскости . (нормальный вектор плоскости). Пусть M ( x , у , z ) — произвольная точка, принадлежащая плоскости. . Тогда вектор
перпендикулярен вектору (рис. 3.11), а поэтому
= 0 (условие перпендикулярности векторов (см. разд. 2.4)) или
. (3.11)
Итак, координаты любой точки М , лежащей в плоскости, удовлетворяют этому уравнению и , легко видеть, что координаты точки, не лежащей в плоскости, не удовлетворяют уравнению (3.11). Следовательно, уравнение (3.11) является уравнением плоскости и называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору .Уравнение (3.11) является уравнением первой степени относительно текущих координат х , у , z . Можно показать (аналогично тому, как это было сделано в разд. 3.1), что всякое уравнение первой степени относительно x , у , z
(3.12)
является уравнением некоторой плоскости (оно называется общим уравнением плоскости), причем вектор = { А , В , C }, является нормальным вектором плоскости.
Если в уравнении (3.12) D = 0, то этому уравнению удовлетворяет тройка чисел (0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость проходит через начало координат. Нетрудно видеть, что плоскость 0 ху имеет уравнение , плоскость 0 xz — уравнение , a плоскость 0 yz задается уравнением .Известно, что плоскость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть 
и М ( х , у , z ) — произвольная точка плоскости (рис. 3.12). Рассмотрим векторы
