Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса .

Обозначим фокусы F 1, F 2 и расстояние между ними через 2 с , т.е.. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось 0 х прошла через фокусы, а начало координат совпадало с серединой отрезка F 1 F 2, (рис. 3.16). Тогда фокусы будут иметь

координаты F 1( с , 0), F 2(- с , 0). Обозначим через М ( х , у ) произвольную точку эллипса. По определению эллипса сумма расстояний есть величина постоянная, обозначим ее через 2 а (по условию 2 а > 2 с , т.е. а > с ). В равенстве:

= 2 а

выразим расстояния через координаты точки М , получим:

Чтобы избавиться от иррациональностей, перенесем один из радикалов в правую часть равенства и возведем обе части в квадрат:

После очевидных преобразований получим:

Возведем еще раз это равенство в квадрат и упростим:

Разделим обе части равенства на:

Поскольку, то и. Пусть, тогда из последнего равенства получим:

(3.18)

- каноническое уравнение эллипса.

Установим форму эллипса, используя его уравнение. В каноническом уравнении (3.18) текущие координаты х , у входят лишь в четных степенях, следовательно, эллипс симметричен относительно осей 0 х , 0 у и начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка пересечения осей — центром эллипса.Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Решая совместно систему уравнений

получим: Следовательно, с осью 0 х эллипс пересекается в точках А 1( а , 0), А 2(- а , 0). Аналогично находим, что эллипс пересекается с осью 0 у в точках В 1(0, b ), В 2(0, — b ). Найденные точки называется вершинами эллипса, отрезки А 1 А 2, В 1 В 2 — большой и малой осями соответственно.

Определим форму эллипса в первой четверти, для этого разрешим уравнение эллипса (3.18 ) относительно переменной у

:

.

Отсюда для первой четверти имеем . При возрастании х от 0 до а переменная у уменьшается от b до 0. Воспользовавшись симметрией эллипса, изобразим его полностью (рис. 3.17).

Заметим, что уравнение при также задает эллипс, только его фокусы будут расположены на оси 0 у и поэтому b — большая полуось, а — малая полуось.Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается:, . Так как, то < 1. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Из формулы получаем:

.

Следовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при, получается окружность, уравнение которой есть

х 2 + у 2 = а 2 .

Пример 3.8. Построить кривую:

9 х 2 + 6 у 2 = 54 .

Решение. Разделим обе части уравнения на 54, получим:

- каноническое уравнение эллипса с малой полуосью а = и большой полуосью b = 3. Фокусы эллипса лежат на оси 0 у . В этом случае

, следовательно, , т.е. с =. Фокусы эллипса имеют координаты F 1 (0,), F 2 (0, — ) (рис. 3.18).

Гиперболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами , есть величина постоянная (при условии, что эта величина меньше расстояния между фокусами и не равна 0).Пусть F 1, F 2 — фокусы, расстояние между ними обозначим через 2 с , Выведем уравнение гиперболы. Для этого выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось 0 х прошла через фокусы F 1, F 2 (рис. 3.19).

Тогда фокусы F 1, F 2 будут иметь координаты F 1( с , 0), F 2(- с , 0). Обозначим через М ( х , у ) произвольную точку гиперболы. По определению гиперболы есть величина постоянная. Обозначим ее через 2 а (по условию 2 а < 2 с а < с ).Подставляя в формулу: = 2 а вместо | F 1 M | и | F 2 M | их выражения через координаты получим:

Избавимся от иррациональности так же, как делали в разд. 3.18 для эллипса, в итоге получим:

Поскольку, то. Обозначим и подставим в предыдущее равенство:. Разделив обе части на, имеем:

(3.19)

- каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем свойства и начертим гиперболу, используя уравнение (3.19).Четность степеней х и у в (3.19) указывает на то, что гипербола симметрична относительно осей 0 х , 0 у и начала координат.Таким образом, гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие в нашем случае с осями координат. В дальнейшем оси симметрии гиперболы будут называться осями гиперболы. Для нахождения точек пересечения с осью 0 х решим систему:

Получим: . Следовательно, гипербола пересекает ось 0 х в точках: А 1( а , 0), А 2(- а , 0), называемых вершинами гиперболы. Отрезок А 1 А 2 называется действительной осью , число а — действительной полуосью . Из системы

получаем: — у 2 = b 2 — противоречивое уравнение. Значит, гипербола не имеет пересечения с осью 0 у . Отрезок, соединяющий точки В 1(0, b ), В 2(0, — b ), называется мнимой осью , а число b — мнимой полуосью .

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти. Для этого разрешим уравнение (3.19) относительно у , получим:

.

Для рассматриваемой части гиперболы х > а и при возрастании х от а до + у возрастает от 0 до +.

Введем вспомогательную прямую и сравним для одних и тех же значений аргумента х значения функции и значения ординаты взятой прямой (ординату прямой обозначим Y , чтобы отличать от ординат точек гиперболы).Очевидно, что (если представить ), т.е. гипербола в первой четверти располагается ниже прямой (рис. 3.20). Покажем, что при возрастании х гипербола приближается к прямой как угодно близко. Для этого вычислим разность для одних и тех же значений переменной х

:

При неограниченном возрастании х знаменатель дроби неограниченно возрастает, а числитель остается постоянным, поэтому дробь стремится к 0 т.е. точки М 1( х , Y ) и М 2( х , у ) сближаются как угодно близко . Из симметрии гиперболы следует, что имеется еще одна прямая, к которой точки гиперболы приближаются неограниченно при стремлении х к — . Прямые и называются асимптотами гиперболы. Используя симметрию, строим гиперболы (рис. 3.21).

Практический совет. Прежде чем строить гиперболу, постройте ее асимптоты. Заметим, что уравнение также задает гиперболу, у которой будут те же асимптоты и, но b — действительная полуось, а а — мнимая полуось, фокусы F 1 и F 2 лежат на оси 0 у .Отношение называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается, т.е.. Так как, то. Из формулы имеем:,

Следовательно, эксцентриситет характеризует форму гиперболы. При () имеем равнобочную гиперболу, уравнение которой:.Рассмотрим график функции (или кривую второго порядка при А = С = D = Е = 0). Перейдем к новым координатам X , Y путем поворота системы координат 0 ху на угол /4, получим формулы перехода:

.

Подставим эти х , у в уравнение ху = k :

.

Таким образом, является равнобочной гиперболой, действительная полуось которой при k < 0 лежит на оси 0Y (рис. 3.22), при k > 0 — на оси 0X (рис. 3.23) в новой системе координат 0XY .

Если в уравнении второго порядка: коэффициенты В = 0, А и С — разных знаков, то после выделения полных квадратов получим уравнение:. При Т 0 получаем гиперболу, при Т = 0 — пару прямых. Например, при А = 1, С = — l, Т = 0 имеем:

,

отсюда

.

Следовательно, уравнение

задает две прямые:

.

Пример 3.9. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между ее вершинами равно 8, а между фокусами — 10. Сделать чертеж.

Решение. , , отсюда,.

.

Проведем асимптоты: и построим ветви гиперболы (рис. 3.24).