Пусть линия L лежит в плоскости 0 ху и задается в пространстве системой

Рассмотрим поверхность, образованную вращением линии L вокруг оси 0 у (рис. 3.41), и выведем уравнение этой поверхности.Пусть

М ( х , у , z ) — произвольная точка этой поверхности. Проведем через М плоскость, перпендикулярную 0 у , получим в сечении окружность с радиусом AM . М 0( х 0, у 0, z 0 ) — точка пересечения этой окружности с линией L , поэтому

AM = AM 0 = x 0 , z 0 = 0 , y 0 = y и F ( x 0 , y 0) = 0 . (3.41)

Из имеем: отсюда. Учитывая, что у 0 = у , из равенств (3.41) получаем:

, (3.42)

т.е. координаты любой точки поверхности вращения удовлетворяют уравнению (3.42). Следовательно, это уравнение является уравнением данной поверхности вращения.

Если линия L лежит в плоскости 0 уz и определяется системой

то поверхность, образованная вращением L вокруг оси 0 z , задается уравнением:. Если L вращается вокруг оси 0 у , то поверхность вращения будет иметь уравнение:. Аналогично в случае, когда L вращается вокруг оси 0 x .

Пример 3.11. Найти уравнение и определить вид поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси 0 у . Решение. Заменяя в уравнении x 2 на x 2 + z 2, получим уравнение эллипсоида: называемого эллипсоидом вращения. Пример 3.12. Парабола, лежащая в плоскости у = 0 вращается вокруг оси 0 z . Определить вид получаемой поверхности и записать ее уравнение. Решение. Заменим х 2 в уравнении z = х 2 на х 2 + у 2, получаем уравнение эллиптического параболоида:, называемого параболоидом вращении.

Пример 3.13. Какие поверхности образует гипербола

(3.43)

при вращении вокруг осей 0 у и 0 z ?

Решение. При вращении гиперболы (3.43) вокруг оси 0 у получаем: — двуполостный гиперболоид (рис. 3.42), а при вращении ее вокруг оси 0 z получаем однополостный гиперболоид (рис. 3.43).