Пример. Даны векторы: в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Составим определитель из координат векторов и вычислим его разложением, например, по первой строке:

.

Так как 0, то векторы образуют базис (см. разд. 1.9).Найдем координаты вектора относительно базиса, т.е. числовые коэффициенты 1 , 2 , 3 разложения

или

.

В силу определения равенства векторов и определения операций сложения векторов и умножения вектора на число, когда известны координаты векторов относительно некоторого базиса, последнее векторное равенство можно записать в виде системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему, например, по формулам Крамера, находим:

1 = 2 , 2 = 3 , 3 = 1.

Ответ: .