Предположим, что задана n-мерная случайная последовательность  и требуется, располагая статистически связанными с  значениями -мерной случайной последовательности , , найти оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку , минимизирующую критерий вида:

,                                             (3.1)

где – определяет операцию взятия математического ожидания.

Введем составной вектор  размерности  и определим оценку  как:

.                                                     (3.2)

Суть рассматриваемой задачи оценивания заключается в нахождении -мерной векторной функции измерений , исходя из условия минимизации критерия (3.1).

Для критерия (3.1) оптимальная оценка представляет собой условное математическое ожидание  и  для произвольных случайных последовательностей ,  и ,  является в общем случае нелинейной относительно измерений функцией.

Предположим, что заданы первые

;            ,                                               

и вторые моменты

,                                                  

; .             

Из теории оценивания известно, что оптимальная в среднеквадратическом смысле оценка, минимизирующая критерий (3.1) (оценка с минимальной дисперсией), при сделанных предположениях является линейной и определяется с помощью соотношения

.                                         (3.3)

Заметим, что оценка (3.3) оптимальна в классе линейных алгоритмов (функция  – линейная) при произвольном характере совместной функции плотности распределения вероятности  для последовательностей  и . Если указанные последовательности являются совместно гауссовскими, то оценка (3.3) является оптимальной без введения предположения о линейном характере функции

, так как для критерия (3.1) оптимальная оценка в виде условного математического ожидания  является линейной в силу гауссовости рассматриваемых случайных процессов.