В повседневной жизни мы имеем дело с явлениями или событиями, которые происходят всякий раз при реализации некоторого комплекса условий.

Если в результате эксперимента всякий раз происходит некоторое событие, то это событие называется достоверным (обозначается ).

Если в результате эксперимента некоторое событие не происходит никогда, то оно называется невозможным (обозначается ).

Если в результате эксперимента событие может произойти, либо не произойти, то оно называется случайным (обозначается А, В, С, …).

Теория вероятностей изучает случайные события, которые можно наблюдать неограниченное число раз при одних и тех же условиях, и не рассматривает случайных уникальных событий.

С каждым случайным событием связан некоторый опыт или эксперимент.

Множество всевозможных, взаимоисключающих исходов (результатов) эксперимента называется пространством элементарных исходов или элементарных событий (обозначается ).

Пример 1

Эксперимент – подбрасывание монеты.

Возможны два исхода:  – монета выпала гербом,  – монета выпала надписью. Пространство элементарных исходов:

.

Пример 2

Эксперимент – подбрасывание игральной кости.

Элементарные исходы:  – на выпавшей грани игральной кости – i очков, . Пространство элементарных исходов:

.

Пример 3

Эксперимент – извлечение карты из тщательно перемешанной колоды.

Элементарные исходы:  – карта определенной масти и определенного достоинства . Пространство элементарных исходов – .

Пример 4

Эксперимент – регистрация вызовов в течение часа на АТС.

Элементарные исходы:  – в течение часа на АТС поступило i вызовов. Пространство элементарных исходов:

.

Пример 5

Эксперимент – стрельба по плоской мишени.

Элементарные исходы:  – точки некоторой области на плоскости. Пространство элементарных исходов:

.

В первых трех примерах пространство элементарных исходов – конечное, в четвертом – бесконечное, но счетное, в пятом – бесконечное и несчетное.

Назовем некоторый элементарный исход эксперимента благоприятствующим событию А, если в результате эксперимента, в котором имел место данный элементарный исход, происходит событие А.

Тогда любое случайное событие можно представить как совокупность (множество) случайных исходов, благоприятствующих этому событию, т.е. как некоторое подмножество из пространства элементарных событий .

Например, в примере 2 можно рассмотреть событие А – на грани игральной кости выпало число очков, кратное 3. Тогда это событие представляется как совокупность двух элементарных исходов .

В примере 3 – событие А – из колоды карт извлечен туз (каждая девятая карта в масти), тогда

.

В примере 4 – событие А – в течение часа поступило не более 10 вызовов, тогда

.

В примере 5 – событие А – произошло попадание в круг радиуса R = 1, здесь

.

Суммой А + В (АВ) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий, т.е. в результате эксперимента происходит хотя бы одно событие (рис. 1.8, а).

Произведением А•В (АВ) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. в результате эксперимента события А и В происходят одновременно (рис. 1.8, б).

Разностью А – В (АВ) случайных событий А и В называется случайное событие, состоящее из элементарных исходов, которые благоприятствуют событию А и не благоприятствуют событию В, т.е. в результате эксперимента происходит событие А и не происходит событие В (рис. 1.8, в).

События А и В называются несовместными, если нет элементарных исходов, благоприятствующих и событию А, и событию В, т.е. в результате эксперимента эти события не могут произойти одновременно или .

Событие  называется противоположным событию А, если выполняются два условия: 1) , 2)  (рис. 1.8, г).

Рис. 1.8. Свойства случайных событий

Если каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторую точку на плоскости, то пространство элементарных исходов и любое случайное событие изобразятся некоторыми множествами точек на плоскости, что дает наглядное представление о введенных арифметических операциях (диаграммы Эйлера-Венна).

Введенные операции обладают следующими свойствами:

1) перестановочным (коммутативный закон):

, ;

2) сочетательным (ассоциативный закон)

, ;

3) распределительным (дистрибутивный закон)

;

4) правилом де Моргана

, ;

5) ; ; ; ; ; .

Все свойства доказываются непосредственно из определений операций. Необходимо рассмотреть произвольный элементарный исход, благоприятствующий левой части равенства, и показать, что он благоприятствует и правой части тоже, и наоборот. Кроме того, при доказательстве можно использовать диаграммы Эйлера-Венна. Для этого необходимо изобразить множества элементарных исходов, благоприятствующих левой и правой частям на разных картинках, и визуально убедиться, что они совпадают.

Покажем, например, что справедливо равенство:

.

Фигуры, заштрихованные на диаграммах (рис. 1.9), совпадают, значит:

.

Система (совокупность) случайных событий Â называется алгеброй случайных событий, если  выполняются свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Таким образом, алгебра случайных событий – это множество случайных событий, содержащее достоверное событие и замкнутое относительно операций сложения и умножения.

Рис. 1.9. Доказательство тождества при помощи диаграмм Эйлера-Венна

Наиболее простой алгеброй случайных событий является множество, состоящее из двух событий: .

В дальнейшем везде будет использоваться алгебра случайных событий, которая является множеством всевозможных подмножеств из пространства элементарных событий  (легко проверить, что все свойства в определении алгебры случайных событий выполняются для этого множества).

Утверждение. В алгебре с конечным числом элементов в пространстве элементарных исходов  случайных событий.