События  называются полной группой, если справедливо равенство:

,

т.е. в результате эксперимента происходит хотя бы одно из этих событий.

Будем рассматривать полную группу попарно несовместных случайных событий, т.е. таких, что

.

Для полной группы несовместных событий:

.

Задача

Пусть некоторое событие А может произойти лишь при условии появления одного из событий, образующих полную группу. Причем заранее неизвестно, какое из этих событий произойдет (эти события называются гипотезами). Требуется найти вероятность события А.

Так как по определению , то событие А можно представить в виде:

.

Причем в правой части равенства записана сумма несовместных событий, так как  ,

т.е.

.                (1.11)

Формула (1.11) называется формулой полной вероятности.

Пример

Студент идет на экзамен, зная 20 билетов из 25. Каким лучше зайти в аудиторию: первым, вторым или третьим? Одним словом, когда вероятность взять выученный билет больше?

Решение

Пусть событие А – студент взял знакомый билет.

Если студент заходит первым, то

.

Если студент заходит вторым, то относительно первого студента можно выдвинуть две гипотезы:  – взял знакомый билет,  – взял незнакомый билет. В этом случае по формуле полной вероятности находим:

;   ;     ;            ;

 .

Если студент заходит третьим, то относительно первых двух студентов можно предположить:  – взяли два знакомых студенту билета,  – взяли один знакомый, один незнакомый билет,  – взяли два незнакомых билета, тогда:

;

;

;

;                        ;          .

Тогда по формуле полной вероятности:

.

Видно, что во всех трех случаях вероятность получить выученный билет одна и та же, т.е. здесь «фортуну» обмануть нельзя.