Определение. Производной однозначной функции комплексного переменного  называется предел отношения , если  любым способом стремится к нулю. Таким образом:

Функцию, имеющую производную, называют дифференцируемой (моногенной) при заданном значении z.

Пусть  дифференцируема в точке , тогда в этой точке существуют частные производные   причем эти производные связаны условиями:

Данные условия называются условиями Эйлера-Даламбера.

Условия Эйлера-Даламбера являются необходимыми условиями дифференцируемости функции  в точке .

Производная функции  выражается через частные производные функций  по формулам:

Производные элементарных функций  и т.д. находятся по тем же формулам, что и производные от функции действительного аргумента.

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Определение. Однозначная функция  называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция  называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке .

Точки плоскости z, в которых однозначная функция  аналитична, называют правильными точками . Точки, в которых функция  не является аналитической, называют особыми точками этой функции.

Пусть  аналитична в точке z. Тогда

Отсюда следует, что

где  

Тогда приращение функции можно записать так:

.

Если  то первое слагаемое  в последнем выражении  при   является бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое  есть бесконечно малая более высокого порядка, чем  Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .

Определение. Дифференциалом  аналитической функции  в точке z называется главная часть ее приращения, т.е.

          или .

Отсюда следует, что:

,

т.е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция  аналитична в некоторой области D, то функции  удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа.

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по , получаем:

откуда:

.

Функции  являются гармоническими функциями.

Пример 1

Проверить, является ли функция  аналитической. Найти её производную.

Решение

Находим действительную  и мнимую  части функции:

.

Таким образом,

.

Проверяем условия Эйлера-Даламбера:

.

Условия выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция  дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости.

Её производную найдем по формуле:

т.е.

.

Заметим, что производную функции  можно найти, воспользовавшись определением производной:

.

Ответ: .

Пример 2

Найти аналитическую функцию  по её заданной действительной части .

Решение

Отметим, что функция  является гармонической функцией.

Для определения мнимой части  воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера. Так как

то, согласно первому условию

Отсюда, интегрируя последнее выражение по , находим:

Для определения функции  воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как:

то

Отсюда

 и ,

где  

Поэтому

.

Находим функцию :

Ответ: