Рассмотрим тонкий однородный изолированный с боков стержень конечной длины. Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности помимо начального условия к уравнению необходимо присоединить граничные условия, которые могут быть различными в зависимости от температурного режима на границах стержня. Число различных типов граничных условий велико. В рамках данного пособия мы ограничимся рассмотрением основных, наиболее важных типов граничных условий.

Так называемая общая первая краевая задача формулируется следующим образом: найти решение  уравнения теплопроводности

     при      ,                           (4.86)

при граничных условиях

 ,                                                 (4.87)

и начальном условии

 ,                                                      (4.88)

где , ,  – заданные функции.

Для начала рассмотрим частный случай этой задачи, а именно: найти решение  однородного уравнения теплопроводности

                                                        (4.89)

при однородных граничных условиях

                                                (4.90)

и при начальном условии

 .                                                     (4.91)

Применяем метод разделения переменных Фурье, ищем частные решения уравнения (4.89) в виде:

 .                                               (4.92)

Подставляя u из уравнения (4.92)  в уравнение (4.89), получаем два уравнения:

 ;                                              (4.93)

 .                                              (4.94)

Граничные условия (4.90) дают:

 , .                                              (4.95)

Для нахождения нетривиальных решений уравнений (4.89) вида (4.92), удовлетворяющих граничным условиям (4.90), нужно найти нетривиальные решения уравнения (4.94), удовлетворяющие условиям (4.95).

Таким образом, для определения функции  мы получили задачу о собственных значениях (задачу Штурма-Лиувилля).

Рассуждая так же, как и в подразделе 4.2.3, делаем вывод, что только для значений параметра , равных

    (),                                        (4.96)

существуют нетривиальные решения уравнения (4.94), равные

 .                                                  (4.97)

Значениям  соответствуют решения уравнения (4.93):

 .                                                 (4.98)

Тогда функции

                              (4.99)

удовлетворяют уравнению (4.89) и граничным условиям (4.90) при любых постоянных .

Решение уравнения (4.89), удовлетворяющее начальному условию (4.91), ищем в виде формального ряда:

 .                       (4.100)

Требуя выполнения начального условия (4.91), получаем:

 ,                                       (4.101)

где

 .                                         (4.102)

Нетрудно показать, что ряд (4.100) с коэффициентами , определяемыми по формуле (4.102), удовлетворяет всем условиям поставленной задачи.

Рассмотрим физический смысл полученного решения. Поступим так же, как в подразделе 4.3.3 при рассмотрении аналогичного вопроса.

Подставим  уравнение (4.102) в уравнение (4.100). Опуская математические выкладки, получим:

.

Обозначим

 .                            (4.103)

Тогда функцию  можно представить в виде:

 .                                       (4.104)

Можно показать, что функция , где , представляет температуру стержня в любой точке (x) в фиксированный момент времени (t), вызванную действием мгновенного точечного источника мощности , помещенного в момент  в точке . Эта функция называется функцией мгновенного точечного источника.

Само решение (4.104) может рассматриваться как наложение функций источников, соответствующих непрерывному ряду тепловых импульсов в точках x с плотностью распределения мощностей (количеств тепла) .