Определение. Пусть z = f(х, у) – функция двух переменных, каждая из которых в свою очередь, является функцией переменной t: х = j(t), у = y(t). Тогда функция  является сложной функцией переменной t, а переменные x и y – промежуточные переменные.

Теорема 1.1. Если функции  дифференцируемы в точке t, а функция  z = f(x, y) дифференцируема в точке , то сложная функция  также дифференцируема в точке t. При этом производная этой сложной функции  вычисляется по формуле

.

Доказательство. Придадим переменной t произвольное приращение ; тогда функции  получат соответственно приращения , а функция  z = f(x, у), в свою очередь, приращение

z = f(х + х, у + у) – f(х, у).

Так как функция z = f(x, у) дифференцируема в точке М(х; у), ,

то  можно записать в виде

Dz = х + у + ,

где  – бесконечно малые при  функции.

Доопределим эти функции при , положив .

Разделив обе части равенства для  на , получим

=  +  + .                       (1.1)

По условию, , . Кроме того, так как функции  дифференцируемы в точке t, то они непрерывны этой точке, т.е.  при  и, как следствие, . Поэтому слагаемые   стремятся к нулю при .

Таким образом, доказано, что при  существует предел правой части равенства (1.1), а, следовательно, существует предел левой части , причем

  или  .■

Замечание. Обратите внимание на то, когда в обозначениях производных пишется , а когда .

В случае, когда z = f(x, у) и  у = j(x), получаем

Пример 1.11.  , где  x = acost,  у = ·аsint. Найти

Решение.  

заменим  x = acost,   у = asint,  получим 

Пример 1.12.  Дана функция  z = ln(x² – у²), где у = е^x. Найти

Решение.