1. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги гладкой кривой , заключенной между точками с абсциссами  и  выражается формулой

.

Замечание. В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности вращения получается из этой формулы путем соответствующей замены переменных.

2. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

 ,   ,  то

.

3. Если кривая определяется уравнением в полярной системе координат , то, рассматривая в зависимостях  полярный угол в качестве параметра, получим

,

где  и  – значения полярного угла, соответственно, начала и конца дуги.

Пример 3.13. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси  петли кривой  (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Иллюстрация к примеру 3.13

Решение. Для верхней части кривой при  имеем .

Отсюда . И площадь поверхности соответственно равна

.

Пример 3.14. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением одной арки циклоиды (рис. 3.12) 

вокруг ее оси симметрии.

Рис. 3.12. Иллюстрация к примеру 3.14

Решение. Поверхность, площадь которой требуется найти, образована вращением дуги ОА вокруг прямой АВ, уравнение которой . Принимая в качестве независимой переменной  и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно координатной оси  на расстояние , тогда

.

Переходя к переменной , получим

.