Пусть функция в точке x₀ имеет производную. По определению: = (x₀), поэтому по свойствам предела (разд. 1.8)  = f(x₀) + a, где a – бесконечно малая при Dx ® 0. Отсюда

Dy = (x₀)Dx + a×Dx.                                                           (2.7)

При Dx ® 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с Dx:  = a = 0, поэтому Dy и (x₀)×Dx – эквивалентные, бесконечно малые (при  (x₀) ¹ 0).

Таким образом, приращение функции Dy состоит из двух слагаемых, из которых первое (x₀)×Dx является главной частью приращения Dy, линейной относительно Dx (при  (x₀) ¹ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x₀ называется главная часть приращения функции и обозначается:  dy или df (x₀). Следовательно,

df (x₀) = (x₀)×Dx.                                                   (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Dy для функции y = x² при:

1) произвольных x и Dx;       2) x₀ = 20,  Dx = 0,1.

Решение

1) Dy = (x + Dx)² – x² = x² + 2xDx + (Dx)² – x² = 2xDx + (Dx)²,  dy = 2xDx.

2) Если x₀ = 20,    Dx = 0,1,     то     Dy = 40×0,1 + (0,1)² = 4,01;       dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Dy = dy + a×Dx.                                                     (2.9)

Приращение Dy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Dx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Dy » dy, если Dx достаточно мало.

Учитывая, что   Dy = f(x₀ + Dx) – f(x₀),   получаем приближенную формулу:

f(x₀ + Dx) » f(x₀) + dy.                                                          (2.10)

Пример 2. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим:   f(x) = ;  x₀ = 4, Dx = 0,1;  тогда   = f(x₀ + Dx). Используя формулу (2.10), получим: 

 = f(x₀ + Dx) » f(x₀) + dy,  f(x₀) = =2,  dy = f’(x₀)×Dx = ×0,1 =  = 0,025.

Значит,     » 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала   df(x₀) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M₀(x₀, f(x₀)), пусть j – угол между касательной KM₀ и осью Ox, тогда f’(x₀) = tgj. Из DM₀NP: PN = tgj×Dx = f’(x₀)×Dx = df(x₀). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x₀ до x₀ + Dx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции y = x. Так как (x)‘ = 1, то dx = 1×Dx = Dx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е.  dx = Dx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = (x)dx, откуда (x) =   или   (x) = .

Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

d(u + v) = du + dv;                                                   (2.11)

d(u×v) = u×dv + v×du;                                                     (2.12)

d = ,   (v ¹ 0).                                          (2.13)

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)‘Dx = (u×v’ + u’×v)Dx = u×v’Dx + u’Dx×v = u×dv + v×du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции:  y = f(x), x = j(t), т.е. y = f(j(t)).

Тогда dy = dt,   но    = ,   поэтому   dy = dt.   Учитывая, что    = dx,   получаем   dy = dx = (x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x = j(t), имеет вид dy = (x)dx,  такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.