Случайной величиной называют такую величину, значения которой изменяются при повторении опытов некоторым, заранее не предсказуемым образом. Для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в данном опыте, но можно указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:

1) указано множество возможных значений случайной величины;

2) указан способ определения вероятности попадания случайной величины в любую область множества возможных значений.

Вероятность попадания в заданную область может быть определена следующим образом:

Здесь N_m – количество наблюдений случайной величины, оказавшихся в заданной области; N – общее количество наблюдений.

Аналитическими выражениями закона распределения случайной величины являются функции распределения вероятностей – интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины X показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения x, т.е.

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины Х заключено между  и, равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

а также

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3)                для всех х;

4) ,    если .

Вид функции распределения F(x) изображен на рис. 1.1.

Если функция F(x) дифференцируема для всех значений случайной величины Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

.

Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал  к длине () этого интервала, когда  – бесконечно малая величина. Поэтому функцию f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей.

Основные свойства функции f(x):

1) ;                                       2) ;

3) ;                           4)  

(z – переменная интегрирования).

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. В частности,

,  ,  .

Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей f(x). Так, например, вероятность того, что случайная величина Х примет значение:

1) меньшее , равна относительной доле площади под кривой f(x) слева от точки  (рис. 1.2, а);

2) большее , равна относительной доле площади под кривой f(x) справа от точки  (рис. 1.2, б);

3) заключенное между  и , равна относительной доле площади под кривой f(x) между точками  и  (рис. 1.2, в).

Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто, с помощью определенных числовых параметров.

Наиболее часто на практике используются два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) случайной величины и степень ее рассеяния вокруг этого центра. Наиболее распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание (m_х) случайной величины Х, часто называемое также генеральным средним значением:

.

Степень рассеяния случайной величины Х относительно m_x может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии :

.

Если f(x) все в большей степени концентрируется вблизи m_x, то значения  уменьшаются. Если же имеются весьма удаленные от m_x значения случайной величины Х и для них f(x) не слишком мала, то дисперсия  увеличивается. Квадратный корень из дисперсии () называется средним квадратическим отклонением ().

Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использование одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух случайных величин X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x,y) и дифференциальная f(x,y).

Функция F(x,y), характеризующая вероятность того, что первая случайная величина принимает некоторое значение, меньшее или равное х, а вторая – значение, меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:

.

Как и для одной непрерывной случайной величины, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятности):

.

Функция f(x, y)обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

( и  – переменные интегрирования).

Вероятность того, что случайные величины X, Y одновременно попадут в некоторую произвольную область , составляет:

.

В частности,

.

По известной двумерной плотности f(x,y) легко найти частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:

,  .

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если

.

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X, Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда числовых параметров. При этом в качестве наиболее употребительных параметров, описывающих поведение каждой из случайных величин в отдельности, используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины: m_x, m_y, , .

Кроме параметров для двумерной совокупности могут быть использованы параметры, характеризующие степень взаимозависимости переменных X и Y. Простейшими из них являются:

1) ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом):

,

2) а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции

.

По своему физическому смыслу коэффициент корреляции является далеко не исчерпывающей характеристикой статистической связи линейной зависимости между Х и Y. Коэффициент корреляции меняется в пределах :

· если , то случайные величины полностью положительно коррелированны, т.е. , где  – постоянные, причем :

· если же , то случайные величины полностью отрицательно коррелированны, т.е. ;

· если , то говорят, что случайные величины Х и Y не коррелированны: .

В том случае, когда Х и Y – независимые случайные величины, для них ; следовательно, они и не коррелированны. Обратное утверждение в общем случае неверно: Х и Y могут быть связаны функционально, но все же иметь нулевой коэффициент корреляции (при этом, конечно, функциональная связь должна быть нелинейной).

Все описанные функции и связанные с ними параметры являются теоретическими, характеризующими определенные свойства изучаемого объекта. На практике почти

всегда эти характеристики неизвестны, и возникает задача экспериментального (эмпирического) определения тех или иных характеристик случайных величин на основе наблюдений.