Совокупность действий, связанных с составлением уравнения регрессии, называется регрессионным анализом. Регрессионный анализ результатов однофакторного эксперимента включает в себя следующие действия:

1) подбор вида уравнения регрессии. Осуществляется с помощью, например, функциональных шкал;

2) определение постоянных коэффициентов в уравнении регрессии. Осуществляется с помощью МНК;

3) проверку соответствия (адекватности) уравнения регрессии результатам опытов.

Проверка адекватности уравнения регрессии результатам опытов проводится следующим образом:

1) По результатам повторных изменений в каждом опыте вычисляются дисперсия функции отклика (σ_у²), среднеквадратичная погрешность (), доверительный интервал 9), математическое ожидание ().

2) Осуществляется проверка однородности дисперсии , где j = 1,2,…, N – число опытов. Дисперсии  называются однородными, если при неограниченном увеличении числа повторных измерений п в каждом из опытов они стремятся к общему пределу, т.е.

.

Дисперсии проверяются на однородность с помощью критериев Фишера, Кохрена, Бартлета. Наиболее просто осуществить проверку однородности с помощью критерия Фишера. Для этого из всех дисперсий () выбирают две: наибольшую () и наименьшую ().

Отношение / сравнивают с табличным значением критерия Фишера (F):

· если /< F – дисперсии  и  однородны, следовательно, однородны и все дисперсии, лежащие в промежутке <<;

· если /> F – дисперсии неоднородны.

Значения критерия Фишера берутся из таблицы 2.3, составленной при доверительной вероятности Р = 0,95, для числа степеней свободы числителя (дисперсии ) и числа степеней свободы знаменателя (дисперсии ).

Таблица 2.3

Если в каждом из опытов число повторных измерений одинаково и равно п, то f_числ = f_знам = п – 1. Если дисперсии  и неоднородны, то это означает, что число повторных измерений недостаточно или что среди результатов повторных измерений опыта с дисперсией находится промах.

Следует очистить результаты повторных измерений от промахов, увеличить число повторных измерений, снова определить  и проверить их однородность. Если все дисперсии  и однородны, можно переходить к следующему действию.

3) Вычисляется дисперсия воспроизводимости (S²_воспр). Дисперсия воспроизводимости – это среднее из дисперсий () всех опытов. Дисперсия воспроизводимости характеризует средний разброс результатов повторных измерений во всех опытах относительно своих математических ожиданий.

Если в каждом опыте число повторных измерений одинаково и равно п, то S²_воспр определяется по формуле:

S²_воспр =

где N – число опытов,  – математическое ожидание в j-м опыте. Если в опытах число повторных измерений различно, то S²_воспр определяется как средневзвешенная величина

S²_воспр =

где - число повторных измерений в j-м опыте.

Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно сумме чисел степеней свободы дисперсий опытов:

.

4) Вычисляется дисперсия адекватности (S²_ад). Дисперсия адекватности – это сумма квадратов отклонений расчётных и экспериментальных значений функции отклика в каждом опыте, отнесённая к числу степеней свободы. Она характеризует разброс экспериментальных результатов относительно расчётных и определяется по формуле:

S²_ад =

где т – число постоянных коэффициентов в уравнении регрессии;  — математическое ожидание в j-м опыте; N – m = f_ад – число степеней свободы дисперсии адекватности;

3) Проверяется однородность дисперсий адекватности и воспроизводимости. Дисперсии адекватности и воспроизводимости будут однородными, если их отношение будет меньше табличного значения критерия Фишера:

S²_ад / S²_воспр < F,

где значения F берутся (см. табл. 2.3)для числа степеней свободы числителя (дисперсии адекватности) и числа степеней свободы знаменателя (дисперсия воспроизводимости).

Если дисперсии S²_ад и S²_воспр однородны , то с доверительной вероятностью Р = 0,95 можно утверждать, что составленное уравнение регрессии адекватно. Это следует из того, что при и  разброс экспериментальных значений функции отклика относительно её расчётных значений равен среднему разбросу результатов повторных измерений в каждом опыте относительно своих математических ожиданий.

Если S²_ад / S²_воспр > F, то выбранное уравнение регрессии неадекватно. Следует перейти к уравнению регрессии более высокого порядка или выбрать уравнение регрессии другого вида, определить значения коэффициента и снова проверить адекватность.

Если опыты состоят из однократных измерений, то адекватность уравнения регрессии не может быть проверена изложенным способом. В этом случае проверка адекватности уравнения регрессии может быть осуществлена сравнением доверительного интервала функции отклика (а_у) с отклонениями расчётных и экспериментальных значений функции отклика (). Очевидно, что, если < а_у, то уравнение регрессии адекватно.