Как было отмечено ранее, планом эксперимента называется совокупность опытов, необходимых для решения поставлен­ной (в данном случае интерполяционной) задачи.

План эксперимента, необходимый для решения интерпо­ляционной задачи, выбирают исходя из вида модели. Для ли­нейной модели может быть применен наиболее простой план эксперимента – симметричный двухуровневый. Симметрич­ный двухуровневый план предусматривает проведение опы­тов на двух уровнях, симметричных относительно некоторого уровня, выбранного в качестве исходного.

План эксперимента для двух- и трехфакторных функций отклика может быть изображен в виде графика. По осям графика откладываются значения факторов. Такой график называют факторным пространством.

В качестве примера изобразим в факторном пространстве симметричный двух­уровневый план для двухфакторной функции отклика (рис. 3.2, а):

y = f (x₁, х₂).

Здесь х_{1 0}, х_{2 0} – исходные уровни факторов; х_{1 в}, х_{2 в} – верхние уровни; х_{1 н}, х_{2 н} – нижние уровни; Δx₁, Δх_{2 –} интервалы варьирования.

Верхний и ниж­ний уровни факторов получают путем прибавления и вычи­тания из исходного уровня интервала варьирования:

Согласно плану эксперимента (рис. 3.2) опыты должны быть проведены на следующих уровнях фак­торов:

х_{1 в} – х_{2 в};        х_{1 н} – х_{2 в};       х₁ в – х_{2 н};       х_{1 н} – х_{2 н}            (четыре опыта).

План эксперимента может быть также записан в виде таблицы, называемой матрицей планирования или репликой. Значения факторов записывают в реплику не в натураль­ном, а в нормированном (безразмерном) виде. Графически переход от натуральных значений факторов к нормированным означает перенос осей координат факторного простран­ства в исходный уровень (рис. 3.2, б). Нормированные значе­ния факторов будем обозначать . Нормированные и нату­ральные значения факторов связаны между собой соотноше­ниями:

                                      (3.1)

где  – исходный уровень и интервал варьирования j-го фактора; j – номер фактора.

Получим значения верхнего и нижнего уровней фактора в нормированном виде:

Таким образом, в нормированном виде верхний уровень лю­бого фактора всегда равен 1, а нижний равен -1.

Исходный уровень любого фактора в нормированном виде всегда равен нулю:

Интервал варьирования любого фактора в нормирован­ном виде всегда равен единице:

В качестве примера запишем матрицу планирования (реплику) симметричного двухуровневого плана для двух­факторной функции отклика (табл. 3.1), содержащую 4 опыта.

Реплики больших размерностей записывают следующим образом. Реплика для трехфакторной функции отклика y = f (x₁, х₂, х₃) содержит 8 опытов (вершины куба в трех­мерном факторном пространстве). Сначала записывают реп­лику двухфакторной функции отклика при значении фактора , затем при  (табл. 3.2).

Аналогично поступают с матрицами больших размерно­стей. Для четырехфакторной функции отклика записывают реплику трехфакторной функции отклика при , затем при  и т.д.

Таким образом, построение плана эксперимента заключа­ется в написании соответствующей реплики. Для последую­щего осуществления эксперимента необходимо от нормиро­ванных значений факторов в реплике перейти к натураль­ным значениям по известной формуле:

.

Для этого нужно знать исходный уровень каждого фактора () и интервал варьирования (). При решении интерполяцион­ной задачи выбор исходных уровней и интервалов варьиро­вания факторов осуществляется из следующих соображений. Полученное уравнение регрессии (модель) будет справедливо лишь для области, ограниченной верхними и нижними уровнями факторов, экстраполяция уравне­ния регрессии за их пределы не­правомерна. Поэтому, определив область варьирования факторов с помощью системы ограни­чивающих зависимостей, выбирают исходный уровень воз­можно ближе к центру области варьирования, а верхний и нижний уровни – ближе к границам.

Таблица 3.1

Таблица 3.2