Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"xÎE m_A×B (x) = m_A(x)m_B(x).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается  и определяется так:

"xÎE = m_A(x) + m_B(x) — m_A(x)m_B(x).

Для операций {×, } выполняются свойства:

· коммутативность;

·  ассоциативность;

· A×Æ = Æ, AÆ = A, = A, AE = E;

·  теоремы де Моргана.

Не выполняются:

·  идемпотентность;

·  дистрибутивность;

· = Æ, A = E.

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç, +, ×} выполняются свойства:

· А×(BÈC) = (A×B)È(A×C);

· А×(BÇC) = (A×B)Ç(A×C);

· А(BÈC) = (AB)È(AC);

· А(BÇC) = (AB)Ç(AC).

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере, для целых  эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень  нечеткого множества A, где  – положительное число. Нечеткое множество  определяется функцией принадлежности  Частным случаем возведения в степень являются:

· CON(A) = A² – операция концентрирования,

· DIL(A) = A^0,5 – операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Иллюстрация к понятию операций

концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если  – положительное число, такое, что , то нечеткое множество aA имеет функцию принадлежности:

maA(x) = amA(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A₁, A₂,…, A_n – нечеткие множества универсального множества E, а w₁, w₂, …, w_n – неотрицательные числа, сумма которых равна 1. Выпуклой комбинацией A₁, A₂,…, A_n называется нечеткое множество A с функцией принадлежности:

"xÎE m_A(x₁, x₁,…, x_n) = w₁m_A1(x) + w₂m_A2(x) + … + w_nm_Ai(x).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A₁, A₂,.., A_n – нечеткие подмножества универсальных множеств E₁, E₂,…, E_n соответственно. Декартово произведение A = A₁ ´ A₂ ´ …´ A_n является нечетким подмножеством множества E = E₁´E₂´…´E_n с функцией принадлежности:

m_A(x₁, x₂, …, x_n) = min{ m_A1(x₁), m_A2(x₂) , … , m_Ai(x_n)}.

Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть A – нечеткое множество, E – универсальное множество и для всех xÎE определены нечеткие множества K(х). Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости . Результатом действия оператора  на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

(A, K) = m_A(x)K(х),

где m_A(x)K(х) – произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1,2,3,4}; A = 0,8/1 + 0,6/2 + 0/3 + 0/4; K(1) = 1/1 + 0,4/2; K(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3;

K(3) = 1/3 + 0,5/4; K(4) = 1/4.

Тогда

H(A,K) = m_A(1) K(1) È m_A(2)K(2) È m_A(3)K(3) È m_A(4)K(4) =

 = 0,8(1/1 + 0,4/2) È 0,6(1/2 + 0,4/1 + 0,4/3) = 0,8/1 + 0,6/2 + 0,24/3.

Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aa универсального множества E, определяемое в виде:

Aa = {x/m_A(x)³a}, где a £ 1.

Пример: A = 0,2/x₁ + 0/x₂ + 0,5/x₃ + 1/x₄.

Тогда A_0.3 = {x₃, x₄}, A_0.7 = {x₄}.

Свойство множества a-уровня: если a₁ ³ a₂, то A_a1 £ A_a2.