Случай 1. Транспонируемые числа стоят в перестановке рядом, т.е. она имеет вид (…, k , p , …), здесь многоточием (…) отмечены числа, которые при транспозиции остаются на своих местах. Транспозиция превращает ее в перестановку вида (…, p , k ,…). В этих перестановках каждое из чисел k , р составляет одни и те же инверсии с числами, остающимися на местах. Если числа k и p ранее не составляли инверсии, (т.е. k < р ), то в новой перестановке появится еще одна инверсия и число инверсий увеличится на одну; если же k и р составляли инверсию, то после транспозиции число инверсий станет меньше на одну. В любом случае четность перестановки меняется.

Случай 2 . Между транспонируемыми числами k и р находится s чисел, т.е. перестановка имеет вид (…, k , j 1 , j 2 , …, j s , p , …). В этом случае потребуется 2 s + l транспозиций соседних чисел: s транспозиций, чтобы поменять последовательно местами k с j 1 , k с j 2 ,…, k с j s , и s + 1 транспозиций, чтобы поменять местами р с k , р с j s , р с j s- 1 , … , p c j 1 .Таким образом, в силу доказанного случая 1, четность перестановки меняется нечетное число раз, следовательно, исходная перестановка и перестановка, полученная в результате транспозиции, имеют разные чётности.Для сокращения записи перестановки будем обозначать одним символом, например: в , т.е. в = ( j1,j2,…,jn ) . Обозначим через n ( в ) число инверсий в перестановке в .