1°. — коллинеарные векторы;2°.;3°.;4°.. ДоказательствоСвойство 1° Если хотя бы один из векторов нулевой, то свойство очевидно. Пусть, тогда:если,

то, либо — коллинеарны;

если коллинеарны,

то, либо.

Свойство 2о Пусть. Из определения векторного произведения векторов следует:

1);

2);3) - правая тройка — левая тройка — правая тройка. Отсюда получаем:

.

Свойства 3 о , 4 ° доказать самостоятельно. Найдем векторные произведения ортов осей координат:

(свойство 1°); (правые тройки векторов); (левые тройки векторов).

Используя полученные равенства, выразим векторное произведение через координаты сомножителей. Пусть, тогда, используя свойства 1о — 4°, получаем:

Таким образом,

. (2.11)

Основные приложения векторного произведения

1)Вычисление площади треугольника (параллелограмма). Из курса математики средней школы известно, что площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними , что совпадает с половиной модуля векторного произведения векторов, которые построены на сторонах треугольника. Таким образом,

,

где S площадь треугольника с вершинами в точках

2) Вычисление высоты треугольника (параллелограмма).Вычислим площадь треугольника двумя способами:

,

где h — высота треугольника, опущенная из вершины В (рис. 2.9). Из этого равенства получаем:

.

Пример. 2.1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А (1, 1, 1), В (1, 2, 3), С (3, 2, 1) и высоту, опущенную из вершины В на сторону АС (рис. 2.9). Решение. Пусть, тогда