В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы:

Например, применяя символ «>» к числам  a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если  – обозначения прямых, то запись  есть утверждение, что  параллельна . Запись «xM» означает, что x является элементом множества M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к высказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2  2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2  2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение:  «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение: «a + b = c» –  предикат от трех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0»,    F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы:  .

1. Отрицание применяется к одному высказыванию или предикату, соответствует частице «не» и обозначается  .

Например, формула   есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2. Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается:  А & B   (или A  B).

Так формула (–3 > 0) & (2  2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2  2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается AB .

Предложение: «число x принадлежит множеству  или множеству » изображается формулой:.

4. Импликация соответствует союзу «если …, то …» и обозначается: AB.

Так, запись «a > –1 a > 0» есть сокращение для предложения «если a > –1, то a > 0».

5. Эквиваленция AB соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы  называются кванторами общности и существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор  читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор  читается: «существует», «найдется» и др.

Квантор общности применяется к предикату F(x, …), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула

1. xF(x,…), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, …)» или «все x обладают свойством F(x, …)».

Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием. Предложение: a(a > 0  a > –1) является истинным высказыванием.

2. Квантор существования, примененный к предикату F(x,…) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,…)» («найдется x, для которого F(x,…)») и обозначается: xF(x,…).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается формулой x(xR & x² = 2). Здесь квантор существования применен к предикату: F(x)=(xR & x² = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате  xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула  xF(x, y) или  xF(x, y) является высказыванием.

Так, предикат  «|sinx| < a»  содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при  этот предикат обращается в ложное высказывание (|sinx| < ), при а = 2 получаем истинное высказывание x (|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу: , выражающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(xR & x² = 2)                будем писать:xR(x² = 2),

вместо                       x(x > 0 & x² + 3 = 4)           пишем:            x > 0 (x² + 3 = 4).

Формулу                     x (xR  x²  0)            сократим так: xR(x²  0) и т.д.

Будем называть  и т.д. ограниченными кванторами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо  пишем x,y(P(x,y)), вместо  будем писать .