Экстремум функции – это свойство местного, локального характера (см. определение). Не следует смешивать максимум (минимум) с наибольшим (наименьшим) значением функции в замкнутой области D.

Определение. Допустим, функция z = f(x, y) определена и непрерывна в некоторой области D, имеет в этой области конечные частные производные. Тогда в этой области найдутся точки, в которых функция  достигает наибольшего и наименьшего значения остальных значений. Эти точки могут лежать внутри области или на ее границе.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, нужно:

1) Найти стационарные точки, расположенные внутри области, и вычислить значения функции в этих точках.

Замечание. Присоединить к стационарным точкам точки, в которых производные бесконечны или не существуют (если такие имеются).

2) Найти стационарные точки на границе области и вычислить значения функции в этих точках.

3) Найти значения функции в угловых точках – точках пересечения граничных линий.

4) Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1.22.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции

z = 2x² – xy +  + y² + 7x  в замкнутой области D:   –3  x  3,  –3  y  3  (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Область исследования D

Решение. 1) Находим стационарные точки

Отсюда у = –1, х = –2, стационарная точка М₀(–2, –1)  D,     z(М₀) = –7.

2) Исследуем функцию на границе области, которая состоит из отрезков AB, DC, CB, AD.

а) На прямой AB: у = 3, а функция имеет вид

z = 2x² + 3x + 9 + 7x =

= 2x² + 10x + 9,  x  [–3, 3].

Эта функция одной независимой переменной. Определим стационарные точки данной функции:

 следовательно, х = –2,5.

Определяем z при х = –2,5, а также на концах отрезка [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5;   z(–3, –3) = –3;    z(3, –3) = 57,

значит   = 3,5,  а   = 57.

б) Рассмотрим отрезок ВС: х = 3.

z = у² – 3у + 39; у  [–3, 3],

 = 2у – 3;  2у – 3 = 0  у = 3/2.

Находим   z(3, 3/2) =,  z(–3, 3) = 15,  z(3, 3) = 39.

 = 15,   = 39.

в) На отрезке CD:  у = 3,  z = 2x² + 4x + 9;  у  [–3, 3],

 = –4x + 4 = 0   Þ  x = –1; z(–1, 3) = 7, z(–3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

 = 7,   а    = 39.

г) Аналогично на отрезке DA:   х = –3,  у Î [–3, 3], z = у² + 3у – 3,

 = 2у + 3 = 0  Þ  у = ;

z(–3, –3/2) = –5,25,  z(–3, –3) = –3, z(–3, 3) = 15;

 = –5,25, а    = 15.

3) Теперь сравним все найденные значения со значением в стационарной точке. Получаем z_наим = –7 в стационарной точке (–2, –1), z_наиб = 57 в точке М(3, –3), которая принадлежит границе области D.