Бинарной операцией на множестве A называется произвольное отображение 
Значения a(a, b) на (a,b) Î A ´ A обычно записываются в инфиксной форме: a a b.
Пример 1
Операция сложения +: w ´ w ® w является бинарной операцией на множестве натуральных чисел.
Унарной операцией на множестве A называется произвольное отображение A ® A.
Булевой алгеброй называется непустое множество A, на котором определены две бинарные операции È, Ç и одна унарная операция Ø , удовлетворяющие для всех a, b, c Î A следующим аксиомам:
1) a È b = b È a, a Ç b = b Ç a;
2) a È (b È c) = (a È b) È c, a Ç (b Ç c) = (a Ç b) Ç c;
3) (a Ç b) È b = b, (a È b) Ç b = b;
4) a Ç (b È c) = (a Ç b) È (a Ç c), a È (b Ç c) = (a È b) Ç (a È c);
5) (a Ç Ø a) È b=b, (a È Ø a) Ç b = b.
Таким образом, булева алгебра – это непустое множество и операции, обладающие теми же свойствами, что и операции пересечения, объединения и дополнения подмножеств фиксированного множества.
Пример 2
Под полем множеств понимается непустое множество U подмножеств фиксированного множества X, содержащее вместе с любыми A, B Î U их объединение A È B и пересечение A Ç B, и вместе с любым A Î U – его дополнение XA. Легко видеть, что U будет булевой алгеброй относительно операций: A È B, A Ç B и ØA = XA.
Пусть (A, È, Ç, Ø) – булева алгебра. Можно доказать, что для любых a, b Î A верно a È Øa = b È Øb и a Ç Øa = b Ç Øb, и, значит, элементы x È Øx, x Ç Øx не зависят от x. Обозначим x È Øx через 1, а x Ç Øx через 0. Имеют место тождества:
6) a È a = a, a Ç a = a;
7) a È 1 = 1, a Ç 0 = 0;
8) a È 0 = a, a Ç 1 = a;
9) Ø (Ø a) = a;
10) Ø (a Ç b) = (Ø a) È (Ø b), Ø (a È b) = (Ø a) Ç (Ø b).
Докажем, например, свойство 6.
В силу симметричности определения булевой алгебры относительно операций È и Ç, достаточно доказать: a È a = a. Применим аксиомы булевой алгебры:
a = (b Ç a) È a (по аксиоме 3)
= a È (b Ç a) (по аксиоме 1)
= a È (a Ç b) (по аксиоме 1)
= (a È a) Ç (a È a) (по аксиоме 4)
= (a Ç (a È b)) È (a Ç (a È b)) (по аксиоме 4)
= ((b È a) Ç a) È ((b È a) Ç a) (по аксиоме 1)
= a È a, что и требовалось доказать.
Для каждой булевой алгебры существует поле подмножеств некоторого множества и сохраняющая операции объединения, пересечения и дополнения биекция между элементами булевой алгебры и элементами поля подмножеств. Поэтому операции бу
левой алгебры обладают свойствами, аналогичными свойствам теоретико-множественных операций.