Рассмотрим функцию f(M) = f(x, y, z), её частные производные по х, у, z выражают "скорость изменения" функции по направлениям координатных осей. Например  – есть "скорость изменения" функции по х (точка предполагается перемещающейся лишь по прямой, параллельной оси Ох). В некоторых задачах (физики, например) возникает вопрос об изменении функции по другим направлениям. Примером может служить скалярное поле температур в пространстве, занятом неравномерно нагретым телом.

Замечание. Скалярное поле – это часть  пространства, в  каждой точке М(х, у, z) которого задана некоторая скалярная функция F(M) = F(x, y, z), т.е. каждой точке поставлено в соответствие число. Так, если тело нагрето неравномерно, то и температура в разных точка разная, следовательно Т = Т(М) – скалярное поле температур.

Рассмотрим пространственное скалярное поле f(М) и любую точку М₀(х₀, у₀, z₀) этого поля и произвольную ось l, проходящую через эту точку (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Иллюстрация к определению производной по направлению

Определение. Пусть  М – какая-  либо   другая   точка   оси.    Составим  разность

f(M) – f(M₀) и разделим ее на расстояние r = |М₀М|. Пусть точка М приближается к точке М₀. Предел

называется производной функции f(M) вдоль оси l, или по направлению l. Обозначается

Эта производная характеризует "скорость изменения" функции в точке М₀ по направлению l. Обозначив через  единичный вектор в направлении l, имеем

где   – единичные векторы осей Ох, Оу и Оz соответственно; cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора . Тогда

Пример 1.23. Найти производную функции u = ху²z³ в точке        М(3, 2, 1) в направлении вектора , где  N(5, 4, 2).

Решение. Находим вектор .

 =  = (5 – 3) + (4 – 2)+ (2 –1) = 2 + 2 + .

Направляющие косинусы:  аналогично  cosb = 2/3;   cosg = 1/3 .

Частные производные:  .

Значения частных производных в точке :

Отсюда: