1.13. Метод наименьших квадратов | Электронная библиотека

Естественные науки / Математика. Функции нескольких переменных и интегральное исчисление функции одной переменной / 1.13. Метод наименьших квадратов

В различных исследованиях используются формулы, полученные на основании эксперимента. Одним из таких способов получения формул является метод наименьших квадратов, который применяется для обработки результатов наблюдений. Пусть в результате опыта получена таблица значений функции у = f(x) для n значений независимой переменной х, т.е. имеем n точек (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n), найденных экспериментально.

Нужно функцию задать аналитически, т.е. формулой. В общем случае рассматривают полином степени m: у = А₀ + A₁x + A₂x² +…+ A_mх^m.

Коэффициенты А₀, A₁, A₂,…, A_m определяют так, чтобы кривая как можно ближе проходила от всех n заданных точек, т.е. чтобы сумма квадратов разностей значений у_i, получаемых экспериментально, и значений функций у(х_i) была бы наименьшей.

Для определения степени m полинома заносят экспериментальные точки на координатную плоскость Оху. Если они примерно располагаются по одной прямой, то зависимость между х и у близка к линейной и

у = А₀ + А₁х.

Если опытные данные таковы, что при построении графика они располагаются вблизи некоторой параболы, то можно искать приближенную зависимость в виде

у = А₀ + A₁x + A₂x².

Рассмотрим более подробно этот случай. Коэффициенты А₀, А₁, А₂ находим из условия, что сумма

имеет наименьшее значение.

Таким образом, перед нами поставлена задача нахождения наименьшего значения функции трех переменных А₀, А₁, А₂. Воспользуемся необходимым условием экстремума функции трех переменных:

Вычисляя производные, получаем

так как х_i и у_i заданы, то получаем для нахождения коэффициентов А₀, А₁, А₂ линейную систему трех уравнений:

(1.3)

Решение этой системы определяет линию (параболу), которая представляет найденную экспериментальную функцию.

Пример 1.25. Пусть в результате эксперимента получены значения функции при различных значениях аргумента:

х	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	2,130	2,153	2,161	2,151	2,128	2,080	2,026	1,859	1,875	1,772

Найти аналитическую зависимость переменной y от x наиболее правильно представляющую экспериментальные данные.

Решение. Изображаем точки на плоскости (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Иллюстрация метода наименьших квадратов второго порядка

Ищем коэффициенты в уравнении параболы у = А₀ + А₁х + А₂х², здесь п = 10. Для решения системы (1.3) нужно вычислить суммы:

Все результаты занесем в таблицу.

Таблица 1.1 Промежуточные результаты в методе наименьших квадратов

п	х	х²	*у_i*	Суммы	у*_выч= у(х_i)*	d = у_выч **– у_эксп**
1.	0,1	0,01	2,1300	= 5,50000	2,1318	+0,0019
2.	0,2	0,04	2,1532	= 3,8500	2,1531	-0,0001
3.	0,3	0,09	2,1611	=0,0250	2,1590	-0,0021
4.	0,4	0,16	2,1516	=2,53330	2,1497	-0,0019
5.	0,5	0,25	2,1282		2,1250	-0,0032
6.	0,6	0,36	2,0807	= 20,43890	2,0851	+0,0044
7.	0,7	0,49	2,0266	=10,9118	2,0299	+0,0033
8.	0,8	0,64	1,9594	= 7,4661	1,9593	-0,0001
9.	0,9	0,81	1,8759		1,8735	-0,0024
10.	1,0	1,00	1,7723		1,7723	0,000

Система относительно А₀, А₁, А₂ имеет в этом случае вид

Решая ее, находим:

А₀ = 2,0952, А₁ = 0,4423, А₂ = –0,7652.

Уравнение параболы имеет вид

у = 2,09552 + 0,4433х – 0,7652х².

Для сравнения с экспериментальными данными график параболы также изображен на рис. 1.5.

В предпоследнем столбце табл. 1.1 записаны значения функции у, вычисленные по формуле, а в последнем – абсолютные погрешности (разность между полученными результатами и экспериментальными данными).

В случае линейной зависимости, т.е. если мы будем искать функцию вида у = А₀ + А₁х, то система для нахождения коэффициентов значительно упрощается и принимает следующий вид