Аксиомы формулируются с помощью символов переменных x, y, A, B, X, Y, x1, x2, … и отношений Î и =. Значениями переменных служат множества. Кроме множеств, объектов нет. Если множества связаны отношениями x Î y, то говорят, что x является элементом множества y, или y содержит элемент x. Каждая аксиома утверждает о существовании некоторого множества. Таким образом, множества строятся с помощью аксиом.
Аксиома пустого множества. Существует множество, не содержащее элементов. Это множество обозначается Æ.
Аксиома экстенсиональности. Два множества равны, если и только если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, x = y тогда и только тогда, когда z Î x влечет z Î y, и наоборот, из z Î y следует z Î x.
Упражнение 1
Доказать, что пустое множество является единственным.
Аксиома (неупорядоченной) пары. Для любых множеств x и y существует множество, состоящее из элементов x и y.
Это множество обозначается {x, y}. Положим {x} = {x, x}.
Упражнение 2
Доказать единственность множества {x, y}.
Указание. Для решения упражнений 1 и 2 воспользуемся аксиомой экстенсиональности.
Определим упорядоченную пару как (u, v) = {{u},{u, v}}, упорядоченную тройку (u, v, w) = ((u, v), w). Аналогично определяются упорядоченные четверки, пятерки и т.д.
Аксиома объединения. Для каждого множества x существует множество Èx, элементами которого служат элементы элементов множества x. Таким образом, z Î Èx означает существование u Î x такого, что z Î U.
Положим, что AÈB = È{A, B}.
Будем говорить, что x – подмножество множества y и будем писать: x Í y, если каждый элемент z Î x является элементом множества y.
Аксиома множества подмножеств. Для каждого множества x существует множество P(x), элементами которого служат все подмножества множества x.
Для любого множества x положим: x + 1 = x È{x}. Определим натуральные числа по индукции:
0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, … . Таким образом, n = {0, 1, 2, …, n-1}.
Аксиома бесконечности. Натуральные числа составляют множество, которое будет далее обозначаться через w = {0, 1, 2, 3, …}; это множество w является наименьшим среди множеств, содержащих все натуральные числа.
Если каждому множеству x сопоставляется F(x) = 1, или F(x) = 0, то будем говорить, что задано свойство множеств F(x). В дальнейшем понятие свойства будет уточнено. В действительности свойство F(x) должно выражаться из отношений = и Î с
помощью логических связок и кванторов, поэтому каждому из рассматриваемых свойств можно поставить в соответствие натуральное число, и все такие свойства содержатся в последовательности: F0(x), F1(x), F2(x), …
Схема аксиом выделения. Пусть F(x) – свойство множеств. Тогда для каждого множества А элементы x Î A, для которых F(x) = 1, составляют множество.
Обозначим это множество через {x Î A : F(x)}.
Определим: A Ç B = {a Î A : a Î B}, A B = {a Î A : a Ï B}. Здесь a Ï B означает, что a не является элементом множества B.
Декартово произведение A ´ B определяется как
A ´ B = {(a, b) : a Î A и b Î B}.
Упражнение 3
Доказать, что A ´ B – множество.
Указание. Воспользуемся схемой аксиом выделения, аксиомами объединения и множества подмножеств, и включением A ´ B Í P(P(A È B)).
Определим по индукции декартово произведение множеств:
X1 ´ X2 ´ … ´ Xn = (X1 ´ X2 ´ … ´ Xn-1) ´ Xn
В случае X1 = X2 = … = Xn = X обозначим: X1 ´ X2 ´ … ´ Xn через Xn. Определим X0 = {Æ} как множество, состоящее из одного элемента.
Отношением между X и Y называется произвольное подмножество R Í X ´ Y. Множество Dom R = {x Î X : существует y Î Y такой, что (x, y) Î R} называется областью определения отношения R. Множество Im R = {y Î Y : существует x Î X такой, что (x, y) Î R } называется образом отношения R.
Отображением или функцией f: X à Y называется такое отношение f Í X ´ Y, что Dom f = X и для любых (x, y) Î f, (x, z) Î f верно равенство y = z. Если f – функция, то f(x) обозначает элемент, для которого (x, f(x)) Î f.
Упражнение 4
Пусть YX состоит из всех функций f: X à Y. Доказать, что YX – множество.
Упражнение 5
Для произвольных функций f: X à Y и подмножества A Í X ограничением f|A функции f на A называется функция A à Y0, принимающая значения f|A(a) = f(a) при a Î A. Пусть f¢¢A = Im (f|A). Доказать, что – f¢¢A множество.
Упражнение 6
Доказать, что если f: w à {0, 1} – функция, для которой f(0) = 1, и из f(x) = 1 следует f(x + 1) = 1, то f(x) = 1 для всех x Î w.
Бинарной операцией на множестве X называется произвольная функция: a:X´XàX. Значения этой функции a(x, y) записываются в инфиксной форме x a y.
Определим операцию сложения + : w x w ® w натуральных чисел по индукции:
x + 0 = x,
x + 1 = x È {x},
x + 2 = (x + 1) +1,
…
x + (n + 1) = (x + n) + 1,
для любых x, n Î w.
Будем говорить, что натуральное число x строго меньше, чем y, и будем писать: x < y, если существует неравное нулю n Î w, такое, что x + n = y.
Множество пар (x, y), удовлетворяющих соотношению x < y, будет отношением между w и w.
Пусть I – множество. Если каждому i Î I по некоторому правилу сопоставляется множество Xi, то говорят, что задано семейство множеств 
.
Например, X0 = w, X1 = P(w), …, Xn = P(Xn-1), …, задает семейство 
. С помощью рассмотренных аксиом невозможно доказать, что {X0, X1, X2, …} – множество.
Схема аксиом подстановки. Для любого семейства множеств существует множество {Xi : i Î I}, элементами которого служат все множества Xi.
Положим: 
, 
.
Декартовым произведением семейства называется множество:
.
Аксиома выбора. Для произвольного семейства непустых множеств 
декартово произведение 
не пусто.
Иными словами, из каждого Xi можно выбрать по одному элементу. Аксиома выбора не зависит от других аксиом. Поэтому различают теорию множеств ZF без аксиомы выбора и теорию множеств ZFC с аксиомой выбора.
Аксиома регулярности. Всякое непустое множество A содержит элемент x Î A такой, что A Ç x = Æ.
Эта аксиома принадлежит фон Нейману. Она была названа им аксиомой фундирования, поскольку эта аксиома не допускает существования бесконечной последовательности множеств x0 
x1 x2 … В самом деле, в противном случае множество A={x0, x1, x2, …} не удовлетворяет аксиоме.
Упражнение 7
Доказать, что в предположении аксиомы выбора аксиома регулярности следует из утверждения о том, что не существует бесконечных последовательностей множеств x0 x1 x2 …
Указание. Если A не удовлетворяет аксиоме регулярности, то существует последовательность x0 Î A, x1 Î A Ç x0, x2 Î A Ç x1, …