Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым и обозначают символом Æ.

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения. Так, множество всех натуральных чисел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,…}. Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, содержащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицательные числа; Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел:  (pÎZ, qÎZ, q¹0). Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел можно записать так: Q{ | pÎZ & qÎZ & q¹0}.  Здесь знак заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333…, а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000… . Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными словами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M₁, M₂ – некоторые множества. Если каждый элемент множества M₁ является элементом множества M₂, то говорят, что M₁ есть подмножество множества M₂ и обозначается M₁ Ì M₂. Итак, M₁ Ì M₂ тогда и только тогда, когда "x(xÎM₁ ® xÎM₂).

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Ì Z,  Z Ì Q,  Q Ì R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R Ì C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно, интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символические определения этих множеств, а слово «называется» заменим на знак :

(a, b) {xÎR| a < x < b};   [a, b] {xÎR| a £ x £ b};

(a, b] {xÎR| a < x £ b};   [a, b) {xÎR| a £ x < b }.

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображается множеством всех точек отрезка, вместе с концами a, b, в то время как (a, b) – множеством точек отрезка без концов a, b.

Объединение AÈB, пересечение AÇB

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

AÈB{x|  xÎA Ú xÎB},   AÇB{x|  xÎA & xÎB}

Иногда рассматривается операция разности множеств A и B, это множество элементов A, не входящие в B. Обозначение: AB. Таким образом, A B{x|}. В частном случае R Q есть множество иррациональных чисел.