Предположим, что функция  определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀).

Определение. Число А называется   пределом   функции   двух   переменных

 при    М  М₀, если для любого числа  найдется такая -окрестность точки М₀(х₀, у₀), что для любой точки М(х, у ) этой окрестности выполняется неравенство:

| f(M) – А | < e,   или   | f(x, y) – А | < e .

Обозначают предел функции:

,  или 

Пусть дана функция  z = f(х, у). Придадим х и у приращения Dх  и  Dу.  Тогда сама функция  z  получит приращение

z = f(х₀ + х, у₀ + у) – f(х₀, у₀).

Определение Если   = 0,  т.е.  бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция z = f(x, у) называется непрерывной в точке (х₀, у₀).

Если обозначить   х₀ + х = х,   у₀ + у = у, то выражение   можно записать в виде .

Определение. Функция z = f(х, у) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке, принадлежащей этой области.

 Композиция непрерывных функций так же является непрерывной функцией. Определение непрерывности для функций n переменных аналогично.

Приведем без доказательства основные свойства непрерывных функций двух переменных, поскольку они в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной. Предварительно введем ряд понятий для множества {М} точек плоскости.

Определение. Множество {М} точек плоскости называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества.

Например, круг – связное множество, а множество, состоящее из двух кругов, не имеющих общих точек, не является связным.

Определение. Точка М называется внутренней точкой множества {М}, если существует -окрестность этой точки, состоящая из точек данного множества.

Определение. Множество {М}, состоящее лишь из внутренних точек, называется открытым множеством.

Определение Связное открытое множество {М} точек называется открытой областью или, короче, областью.

Простейшими областями являются: внутренность треугольника, многоугольника, круга, эллипса и т. п.

Определение Точка М называется граничной точкой области, если в любой ее -окрестности есть точки как принадлежащие, так и не принадлежащие этой области.

Определение Множество всех граничных  точек   области   называется    границе этой области.

Например, для области, которая состоит из точек, лежащих внутри круга, границей является окружность.

Определение Множество {М} точек, образованное областью ее границей, называется замкнутой областью.

Определение Множество {М} называется ограниченным, если существует круг, внутри которого оно содержится.

Отрезок и треугольник – ограниченные множества. Прямая не является ограниченным множеством.

Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

Теперь сформулируем основные свойства непрерывных функций двух переменных.

1°. Если функция z = f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области, т. е. существует число k такое, что для всех точек области выполняется неравенство .

2°. Если функция z = f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений.

3°. Если функция z = f(M) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т.е. если А < С < В, где А и В – какие-то значения функции z = f(M) в данной области, то в этой области существует точка , в которой .

Отсюда, в частности, следует, что если  и – точки данной области и , а , то в области существует точка , в которой .

4^о. Если функция z = f(M) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она равномерно-непрерывна в этой области, т.е. для любого  существует  такое, что для любых двух точек  и  области, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

В заключение отметим, что понятие предела, непрерывности и перечисленные свойства функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных.

Пример 1.4. В каких точках непрерывна функция  ?

Решение. Данная функция непрерывна всюду, так как она представляет собой сумму двух функций, каждая из которых является композицией непрерывных функций.

Пример 1.5. В какой области определена функция f(x, y) = tg(x/y)? Где она непрерывна?

Решение. Частное х/у определено при . По определению функции tga находим  , где n = 0, , … .

Таким образом, функция  f(x, y) = tg(x/y) непрерывна всюду, где она определена.