Для упрощения записи и изложения материала ограничимся случаем функций двух переменных. Все дальнейшее справедливо также для функций любого числа переменных.
Определение. Частной производной функции z = f(х, у) по независимой переменной х называется производная
вычисленная при постоянном у.
Аналогично определяется частная производная по переменной у.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Определение. Произведение частной производной 
на приращение аргумента 
х (y) называется частным дифференциалом по переменной х (у) функции двух переменных z = f(x, y) (обозначения: 
):
Если под дифференциалом независимой переменной dx (dy) понимать приращение х (у), то
Для функции z = f(x, y) выясним геометрический смысл ее частотных производных и 
.
Рассмотрим точку 
, точку P0(х0, y0, z0) на поверхности z = f(x, у) и кривую L, которая получится при сечении поверхности плоскостью у = у0. Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной z = f(x, y) в плоскости у = у0. Если провести в точке Р0(х0, у0, z0) касательную к кривой L, то, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной 
, где a – угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох. Или: 
аналогично зафиксируем другую переменную, т.е. проведем сечение поверхности z = f(x, y) плоскостью х = х0. Тогда функцию
z = f(x0, y) можно рассмотреть как функцию одной переменной у:
где b – угол, образованный касательной в точке М0(х0, у0) с положительным направлением оси Oy (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Иллюстрация геометрического смысла частных производных
Пример 1.6. Дана функция z = х2 – 3ху – 4у 2 – х + 2у + 1. Найти 
и 
.
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим
Считая х постоянной, находим
.
Пример 1.7. Показать, что функция z = yln(x2 – у2) удовлетворяет уравнению:
Решение. Находим производные
Подставив частные производные в левую часть уравнения:
получаем тождество, т.е. функция z удовлетворяет данному уравнению.
Пример 1.8. Показать, что функция z удовлетворяет уравнению
Решение. 
.
Подставляем в уравнение:
Получили тождество, т.е. функция z удовлетворяет уравнению.