Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией  (однозначной)  от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x Î A}, через B.

Пример 1. Для функции y =  область определения A = (–¥, –1]È[1, +¥), множество значений B = [0, +¥).

Пример 2.  y =  ,  A = R,   B = (–¥, +1].

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению xÎA, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Способы задания функции

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами  (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f(x) принимает только значения 1, 2, 3,….n,…

Обозначим f(1) = a₁,  f(2) = a₂, …,  f(n) = a_n, … Такую функцию называют последовательностью, a₁ – первый член, …, a_n – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f(x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так: "x₁, x₂ÎM (x₁ < x₂ ® f(x₁) < f(x₂)).

Функция f(x) называется убывающей (строго) на множестве M, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Символически: "x₁, x₂ÎM (x₁< x₂ ® f(x₁) > f(x₂)).

Функция, убывающая или возрастающая на множестве M, называется монотонной на множестве M.

В качестве примера рассмотрим функцию y = x². На интервале (–¥, 0) это убывающая функция, а на интервале  (0, + ¥ ) – возрастающая.

Функция  f(x)  называется ограниченной сверху на множестве M, если существует такое число k, что для любого значения  xÎM  f(x) < k.

Символически это может быть записано так:  $k "xÎM (f(x) < k).

Аналогично дается определение функции, ограниченной снизу.

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то она называется ограниченной. Так, функция y = ограничена снизу на множестве A (пример 1), а функция из примера 2 ограничена сверху на множестве R.

Функция  f(x) называется четной, если "xÎA (f(–x) = f(x)), и называется нечетной, если  "xÎA (f(–x) = –f(x)).

Например, функция y = x² является четной, а  y = sinx – нечетной.

Функция f(x) называется периодической с периодом T (T ¹ 0 ), если "xÎA(f(x + T) = f(x)).

Известно, что все тригонометрические функции являются периодическими.

Введем важные понятия сложной и обратной функции.

Если переменная y является функцией от x, y = f(x); а x – функция от переменной t:  x = j(t), то y = f(j(t)) является функцией от t и называется сложной функцией или функцией от функции.

Например, пусть y = x², x = sint, тогда функция y = (sint)² является сложной.

Пусть y = f(x) с областью определения A и множеством значений B такова, что для любого значения yÎB существует единственное значение xÎB, такое, что f(x) = y, тогда переменная x является функцией от y, обозначим x = j(y). Эту функцию называют обратной для y = f(x). Для обратной функции x = j(y) область определения B, а множество значений A. Иногда функцию, обратную к функции y = f(x), обозначают: .

Например, для функции y = x² с областью определения [0, +¥) и таким же множеством значений обратной является функция:  x =.

В дальнейшем часто будет использоваться понятие абсолютной величины числа, а также понятие e  – окрестности точки.

Абсолютной величиной числа a называется неотрицательное число, обозначаемое |a|, такое, что

|a| = .

Неравенство |x| < m  ( m > 0 ) равносильно двойному неравенству  –m < x < m, неравенство  |x – x₀| < e  (e > 0) равносильно x₀ – e < x< x₀ + e. Множество точек с таким свойством (рис. 1.1) является интервалом (x₀ – e, x₀ + e) и называется e – окрестностью точки x₀ (рис. 1.1).