Определение. Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от производных первого порядка.

 Т.е..  если функция z = f(x, y) имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то эта производная сама является функцией от х и у, т.е. она может, в свою очередь, иметь частные производные по той же или другой переменной.

Для исходной функции z = f(х, у) эти последние производные будут частными производными второго порядка. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т.д.

Определение. Частная производная высшего порядка, взятая по разным переменным, называется смешанной частной производной.

Обозначения:

.

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например,

Пример 1.9.  z = sinxsiny.  Найти:

Решение.

таким образом,         

Пример 1.10.   z = ylnx.  Найти:

Решение.