Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.
Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.
Число b называется пределом функции f(x) в точке x0 (x ® x0), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0 достаточно близко. Обозначение: 
f(x) = b.
Пример 1. Функция y = 
определена во всех точках числовой оси, за исключением x0 = 2. Найдем 
f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ¹ 2: 
= 2x.
|
x |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
2,4 |
|
y |
3,2 |
3,4 |
3,6 |
3,8 |
4,2 |
4,4 |
4,6 |
4,8 |
График функции: y = совпадает с прямой: y = 2x для всех x ¹ 2 (рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.
Покажем, что 
= 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = | – 4 | = | 2x – 4 |, так как x ¹ 2.
Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <
, тогда из неравенства: |2x – 4| < получаем |x – 2| <
. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.
Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| <
, если 2 – 
< x < 2 + и, вообще, для любого (малого) положительного числа e: |f(x) – 4| < e, если 2 – 
< x < 2 + (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим = d. Итак, = 4.
Дадим строгое определение предела функции в точке.
Число b называется пределом функции f(x) в точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое, что для любого x ¹ x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 – d < x < x0 + d, выполняется неравенство: | f(x) – b| < e.
Символически 
f(x) = b означает:
"e > 0 $d > 0 "x ¹ x0 (x0 – d < x < x0 + d ® | f(x) – b | < e). (*)
Заметим, что условие:
«x ¹ x0 и x0 – d < x < x0 + d»
можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 | < d , и тогда формула (*) примет вид:
"e > 0 $d > 0 "x (0 < | x – x0 | < d ® | f(x) – b | < e).
Если 
f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на d, значения f(x) отличаются от b не более чем на e.
Пример 2. Показать, что x = x0.
В самом деле f(x) = x, поэтому для любого e > 0: | f(x) – x0 | < e при условии | x – x0 | < e (здесь d = e).