Теорема 1.2. Если функция z = f(M) дифференцируема в точке М, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция z = f(M) дифференцируема в точке М, то, как следует из соотношения (1.2), , а это и означает, что функция непрерывна в точке М.■

Теорема 1.3. Если функция z = f(M) дифференцируема в точке М(х; у), то она имеет в этой точке частные производные , причем .

Доказательство. Так как функция z = f(M) дифференцируема в точке М, то имеет место соотношение (1.2). Полагая , имеем , где  – бесконечно малая при  функция. Разделив на  и переходя к пределу при , получаем

.

Следовательно, в точке М существует частная производная . Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная .■

Обратные утверждения к теоремам 1.2 и 1.3 неверны, из непрерывности функции двух переменных в точке М, а также из существования ее частных производных в этой точке еще не следует дифференцируемость функции.

Например, функция  непрерывна в точке (0; 0), но не имеет в этой точке частных производных. В самом деле

.

Но функция   не имеет предела при . Следовательно  не существует. Аналогично доказывается, что не существует . Так как данная функция не имеет частных производных в точке (0; 0), то она и не дифференцируема в данной точке.