Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х  + ¥, х ® –¥, x ® x₀ – 0, х ® x₀ + 0), если  a(х) = 0.

Используя определение предела фикции при х ® +¥, можно перефразировать этог определение: функция a(х) называется бесконечно малой при х ® +¥, если для любого положительного числа e найдется такое число x₀ что для всех х, больших x₀, выполняется неравенство: |a(х)| < ε.

Символически это выглядит так: ε > 0x₀(|(х)| < ε).

Аналогично формулируются определения б.м. при x ® +¥, х ® x₀, и т.д.

Пример 1. Функция a(х) =  является б.м. при  и  (см. разд. 1.4, пример 3).

Пример 2. Покажем, что a(х)= б.м. при .

Действительно, неравенство  выполняется для всех х, которые удовлетворяют неравенству , т.е.

Докажем некоторые теоремы о б.м. функциях.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых функций (при) является б.м. функцией (при).

Доказательство. Проведем доказательство для случая . Пусть  – б.м. при , покажем, что функция  является б.м. при, т.е. . Зафиксируем произвольное положительное ε. Так как  – б.м. при , то по числу  найдется  такое, что для всех  выполняется неравенство:

.                                                               (*)

Аналогично для  по числу  найдется , такое, что для всех  выполняется неравенство:

.                                                              (**)

Пусть x₀ – большее из чисел  и  тогда для любого  выполняются оба неравенства (*), (**), поэтому .

Учитывая, что , получаем:

,  т.е.  – б.м. при .

Пример 3. Функция  является б.м. при , так как каждое слагаемое  является б.м. при  (см. примеры 1, 2).

Для дальнейшего нам потребуется понятие ограниченности функции.

Функция f(x) называется ограниченной на некотором множестве М, если существует такое положительное число К, что для всех М выполняется неравенство: .

Пример 4. Функция sinx и cosx ограничены на множестве R всех действительных чисел, так как  и .

Пример 5. Функция tgx не является ограниченной на интервале , так как она может принимать любые значения при .

Будем говорить, что функция f(x) ограничена при  (), если она ограничена на некотором бесконечном интервале () (или ()). Аналогично,

функцию f(x) называют ограниченной при  (), если она ограничена на некоторой окрестности () точки  (на правой полуокрестности () или на левой полуокрестности () соответственно).

Теорема 2. Если существует f(x), то функция  f(x) ограничена при х  а.

Доказательство. Проведем доказательство для случая .

Пусть f(x) = b. Тогда на основании определения предела для ε = 1 найдется такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство: |f(х) – b| < 1. Так как по свойству абсолютных величин |f(х) – b|, то

, откуда |f(х)| < |b| + 1.

Это и означает, что  f(х) ограничена на интервале () (в качестве К взято число |b| + 1).

Следствие 1. Любая б.м. функция при  является ограниченной при .

Теорема 3. Если существует  и он отличен от нуля, то  ограничена при .

Доказательство.  Пусть f(x) = b  0. Зафиксируем положительное число ε, такое, что ε < . На основании определения предела при :

.

Так как

, то   и .

Следовательно, . Здесь К = . Теорема доказана.

Теорема 4. Произведение б.м. функции (при х  а) на функцию, ограниченную (при х  а) является функцией б.м. (при х  а).

Доказательство. Пусть функция (х) – б.м. при , и пусть f(х) – ограничена при , т.е. найдутся числа К > 0 и x₁, такие, что для любого х > х₁ выполняется неравенство:

.                                                            (!)

Зафиксируем произвольное ε > 0 и покажем, что найдется x₀, такое, что .

По определению б.м. при , для числа  найдется такое x₂, что для всех х > х₂, выполняется неравенство:

 .                                                           (!!)

Пусть  – наибольшее из чисел х₁, х₂. Тогда для х > x₀ одновременно выполняются неравенства (!), (!!), поэтому

,

т.е. f(х)(х) – б.м. при . Теорема доказана.

Следствие 2. Произведение функции б.м. при  на число является функцией б.м. при.

Следствие 3. Произведение двух б.м. функций есть функция б.м. (при ).

Замечание. Если ₁(х), ₂(х) – б.м. при , то  может быть б.м. при , а может и не быть. Так, для функций ₁(х) =  и ₂(х) = , б.м. при , функция  не является б.м. при , а функция  является б.м. при .