Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x ® +¥ (при x ® -¥), если для любого положительного числа K существует число x0, такое, что для всех x > x0 выполняется неравенство: |F (x)| > K.
Функция F(x) называется бесконечно большой при x ® x0 (при x ® x0–0 или x ® x0+0 ), если для любого K > 0 существует d > 0 такое, что для любого xÎ(x0 – d, x0 + d), ("xÎ(x0 – d, x0) или "xÎ(x0, x0 + d) соответственно) выполняется неравенство |F(x)| > K.
Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при x ® a, а потому 
F (x) не существует.
Если F (x) – б.б. функция при x ® a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: F (x) = ¥. Если при этом F (x) > 0, то пишут: F (x) = +¥; если же F(x) < 0, то пишут: F (x) = -¥.
Пример 1. F1(x) = x2 является б.б. при x ® +¥ и x ® -¥, причем F1(x) > 0, поэтому можно записать:
x2 = + ¥, 
x2 = + ¥.
Пример 2. F2(x) = 
является б.б. при x ® 0, причем
F2(x) = +¥, а 
F2(x) = — ¥.
Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x ® a, то функция 
– б.м. при x ® a.
Доказательство. Пусть F(x) – б.б. при x ® x0–0, покажем, что – б.м. при x ® x0–0. Зафиксируем произвольное e > 0 и покажем, что найдется d > 0 такое, что для всех xÎ(x0 – d, x0) выполняется неравенство: || < e.
По определению функции б.б. при x ®x0–0 для числа K = 
найдется такое d > 0, что "xÎ(x0–d, x0) будет выполняться неравенство: |F(x)| > , откуда 
< e для xÎ(x0 – d, x0), т.е. 
– б.м. при x ® x0 –0.
Теорема 2. Если a(x) – б.м. при x ® a и a(x) ¹ 0, то 
– б.б. при x ® a.
Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.
Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций.
Свойство 1. Если F1(x), F2(x) – б.б. при x ® a, то функция F1(x), F2(x) – б.б. при x ® a.
Свойство 2. Если F1(x), F2(x) – б.б. функции при x®a, причем F1(x) > 0 и F2(x) > 0 (т.е. 
F1(x)=+¥, F2 (x) = + ¥), то функция F1(x) + F2(x) – б.б. при x ® a.
Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x ® a и число C ¹ 0, то CF(x) – б.б. при x ® a.
Замечание. Если F1(x) и F2(x) – б.б. функции при x ® a, но имеют разные знаки, то F1(x) + F2(x) может быть как б.б., так и б.м. при x ® a, как иметь предел при x ® a, так и не иметь его.