Следующее утверждение справедливо в предположении аксиомы выбора и вместе с теоремой Кантора-Шредера-Бернштейна (разд. 1.7) позволяет установить, что для любых множеств X и Y имеет место одно из соотношений:

|X| < |Y|,                       |X| = |Y|,         |X| > |Y|.

Теорема. Пусть X и Y – множества. Тогда |X| £ |Y| или |Y| £ |X|.

Доказательство. Пусть T – множество пар (A. f), состоящее из подмножеств A Í X и инъекций  f : A à Y.  Определим на  T  отношение порядка, полагая для (A₁, f₁) и (A₂. f₂) из T выполненным отношение (A₁, f₁) £ (A₂. f₂), если A₁ < A₂ и . Для произвольной цепи C Í T существует пара (B, g), состоящая из  и отображения  g : B à Y,  заданного как  g(x) = f(x),  если  (A, f)  – такая пара из  T,  что x Î A. Эта пара (B, g) будет ограничивать сверху цепь С. Значит, любая цепь С ограничена сверху в Т, и в Т существует, по крайней мере, один элемент, который мы обозначим через (A, f). Если A ¹ X и Imf ¹ Y, то инъекцию f можно доопределить на некотором x Î X A и получить таким образом элемент из T, больший чем (A, f). Это противоречие показывает, что либо A ¹ X и Imf = Y, либо A = X. В первом случае f осуществляет биекцию некоторого подмножества из X с множеством Y, и, значит, имеет место |Y| £ |X|. Во втором случае |X| £ |Y|. Теорема доказана.

Замечание. В действительности эта теорема равносильна аксиоме выбора и, стало быть, может быть принята в качестве аксиомы.