Определение. Число вида z = х + iy, где х,  , a i – так называе­мая мнимая единица, называется комплексным числом. Мни­мая единица определяется равенством:

                                                         (2.1)

Действительные числа x и y называются соответственно  действительной и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются:

x = Rez;                        y = Imz                                                    (2.2)

Множество комплексных чисел обозначают буквой С.

Например,  – комплексное число, где Rez = 5 – действительная часть; Imz = 8 – мнимая часть.

Определение. Два комплексных числа считают равными тогда и только тогда, когда у них равны соответственно действительные и мнимые части. В частности, комплексное число z = х + iy рав­но нулю тогда и только тогда, когда х =0 и у =0 .

Определение. Числа z = х + iy и z = х – iy называются (комплексно) сопря­женными.

Пример 1

Записать сопряженное число для .

Решение

Сопряженное число: .

Выбираем на плоскости систему декартовых координат xОy (рис. 2.1) , тогда каждому z = х + iy будет соответствовать вектор  плоскости, начало которого совпадает с началом координат, и, наоборот, каждому вектору  плоскости xОy будет отвечать определённое комплексное число z = х + iy (последнее следует из основной формулы векторного исчисления), где x и y – компоненты (координаты) .

Таким образом, между множеством C и множеством векторов (и точек!) плоскости xOy устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Определения. Плоскость xОy называется плоскостью комплексных чисел (или просто комплексной плоскостью), будем её обозначать   Z. Ось Ox – действительная ось; ось Oy – мнимая ось.

Поскольку  – вектор, то он имеет длину и характеризуется направлением. Длину вектора называют модулем комплексного числа z = х + iy, а величину угла наклона вектора  по отношению к оси Ox – аргументом z. Их обозначают символами:

            и          .                                            (2.3)

Модуль комплексного числа есть однозначная функция:

.                                                        (*)

Из рисунка 2.1 видно, что:

, .                                              (2.4)

Аргумент  есть функция многозначная. Все значения аргумента  удовлетворяют соотношению:

                                                   (2.5)

При  аргумент не определен. Из множества значе­ний  (z0) выделяют одно, лежащее в интервале , которое обозначают argz и называют главным значением аргумента:

                                                       (2.6)

Очевидно, что

                                (2.7)

Из формул (2.5) и (2.6) следует:

                        (2.8)

Пример 2

Дано комплексное число .

Необходимо: найти модуль комплексного числа, изобразить число на комплексной плоскости, найти главное значение аргумента комплексного числа.

Решение

Используем формулу (*) и находим модуль комплексного числа:

Изобразим число на комплексной плоскости (рис. 2.2).

Определим главное значение аргумента комплексного числа , используя формулу (2.8), так как   т.е. , то