Определение. Функция  называется первообразной функции  на некотором промежутке, если  непрерывна на этом промежутке и дифференцируема в каждой его внутренней точке, причём

.

Теорема 2.1. Если  и – первообразные для функции  в некотором промежутке   , то найдется такое число C, что справедливо равенство

                                                     .

Доказательство: Поскольку, то, по следствию из теоремы Лагранжа  ( Если производная функции  равна нулю на некотором промежутке , то  функция тождественно постоянна на этом промежутке), найдется такое число , что   или .■

          Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где  — произвольная константа, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом функции  и обозначается:

Таким образом, по определению  где  – какая-либо первообразная функции , а С – произвольная постоянная.

Символ  называется знаком интеграла,  – подынтегральной функцией,  – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования.

Пример 2.1. Найти какую-либо первообразную  функции

и ее неопределенный интеграл.

Решение. Так как , то

  и 

Определение. Восстановление функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.

  Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, что позволяет проверять правильность интегрирования дифференцированием.